Persamaan lingkaran yang pusatnya berimpit dengan pusat

x^2 + y^2 + 27x + 4y - 60 = 0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengubah persamaan lingkaran yang diberikan ke dalam bentuk standar (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Setelah itu, kita akan menemukan pusat lingkaran tersebut dan menggunakannya sebagai pusat lingkaran baru yang melalui titik (0,6).

Persamaan lingkaran yang diberikan: 4x^2 + 4y^2 + 54x + 16y + 101 = 0

Untuk mendapatkan bentuk standar, kita bagi seluruh persamaan dengan 4:
x^2 + y^2 + (54/4)x + (16/4)y + (101/4) = 0
x^2 + y^2 + (27/2)x + 4y + (101/4) = 0

Selanjutnya, kita lengkapi kuadrat untuk x dan y:
(x^2 + (27/2)x) + (y^2 + 4y) = -101/4

Lengkapi kuadrat untuk x: Tambahkan ( (27/2) / 2 )^2 = (27/4)^2 = 729/16
Lengkapi kuadrat untuk y: Tambahkan (4 / 2)^2 = 2^2 = 4

(x^2 + (27/2)x + 729/16) + (y^2 + 4y + 4) = -101/4 + 729/16 + 4
(x + 27/4)^2 + (y + 2)^2 = -404/16 + 729/16 + 64/16
(x + 27/4)^2 + (y + 2)^2 = (729 - 404 + 64) / 16
(x + 27/4)^2 + (y + 2)^2 = 389 / 16

Pusat lingkaran pertama adalah (-27/4, -2).

Lingkaran kedua berpusat di (-27/4, -2) dan melalui titik (0,6).
Jari-jari (r) lingkaran kedua adalah jarak antara pusat (-27/4, -2) dan titik (0,6).

r^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
r^2 = (0 - (-27/4))^2 + (6 - (-2))^2
r^2 = (27/4)^2 + (8)^2
r^2 = 729/16 + 64
r^2 = 729/16 + 1024/16
r^2 = (729 + 1024) / 16
r^2 = 1753 / 16

Persamaan lingkaran yang baru adalah:
(x - (-27/4))^2 + (y - (-2))^2 = 1753/16
(x + 27/4)^2 + (y + 2)^2 = 1753/16

Kita dapat mengalikannya dengan 16 untuk menghilangkan penyebut:
16(x + 27/4)^2 + 16(y + 2)^2 = 1753

Atau, jika ingin dalam bentuk umum:
(x^2 + (27/2)x + 729/16) * 16 + (y^2 + 4y + 4) * 16 = 1753
16x^2 + 432x + 729 + 16y^2 + 64y + 64 = 1753
16x^2 + 16y^2 + 432x + 64y + 793 = 1753
16x^2 + 16y^2 + 432x + 64y + 793 - 1753 = 0
16x^2 + 16y^2 + 432x + 64y - 960 = 0

Bagi dengan 16:
x^2 + y^2 + (432/16)x + (64/16)y - (960/16) = 0
x^2 + y^2 + 27x + 4y - 60 = 0

Jawaban: x^2 + y^2 + 27x + 4y - 60 = 0