Tentukan dy/dx dalam x dan y untuk tiap fungsi implisit

a. dy/dx = -(1 + cos x) / sin y, b. dy/dx = -y / (x + cos y)

Pembahasan

Untuk menentukan dy/dx dari fungsi implisit, kita akan menurunkan kedua sisi persamaan terhadap x, dengan mengingat bahwa y adalah fungsi dari x (y=y(x)) dan menggunakan aturan rantai.

a. cos y = x + sin x
Turunkan kedua sisi terhadap x:
d/dx (cos y) = d/dx (x + sin x)

Menggunakan aturan rantai pada sisi kiri: d/dx (cos y) = -sin y * dy/dx.
Menggunakan aturan turunan jumlah pada sisi kanan: d/dx (x) + d/dx (sin x) = 1 + cos x.

Jadi, kita punya:
-sin y * dy/dx = 1 + cos x

Untuk menyelesaikan dy/dx, bagi kedua sisi dengan -sin y:
dy/dx = (1 + cos x) / (-sin y)
dy/dx = -(1 + cos x) / sin y

Dalam bentuk lain, kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau mengganti sin y dengan ekspresi dalam x jika memungkinkan, namun bentuk ini sudah merupakan turunan implisit.

b. xy + sin y = 1
Turunkan kedua sisi terhadap x:
d/dx (xy) + d/dx (sin y) = d/dx (1)

Menggunakan aturan perkalian pada suku pertama (xy): d/dx (xy) = (d/dx x) * y + x * (d/dx y) = 1*y + x*(dy/dx) = y + x(dy/dx).
Menggunakan aturan rantai pada suku kedua (sin y): d/dx (sin y) = cos y * dy/dx.
Turunan dari konstanta (1) adalah 0.

Jadi, kita punya:
y + x(dy/dx) + cos y * dy/dx = 0

Kelompokkan suku-suku yang mengandung dy/dx:
x(dy/dx) + cos y (dy/dx) = -y

Faktorkan dy/dx:
dy/dx (x + cos y) = -y

Untuk menyelesaikan dy/dx, bagi kedua sisi dengan (x + cos y):
dy/dx = -y / (x + cos y)

Jadi, dy/dx untuk fungsi implisit tersebut adalah -y / (x + cos y).