Tentukan suku tengah dari penjabaran binom(3x-x^3/6)^9

23.625x^17

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan penjabaran binomial.
Bentuk umum penjabaran binomial (a + b)^n adalah:
(a + b)^n = Σ (n choose k) * a^(n-k) * b^k, dengan k dari 0 sampai n.

Dalam soal ini, bentuknya adalah (3x - x^3/6)^9.
Jadi, a = 3x, b = -x^3/6, dan n = 9.

Untuk mencari suku tengah, kita perlu mengetahui terlebih dahulu ada berapa banyak suku dalam penjabaran tersebut. Jumlah suku dalam penjabaran (a + b)^n adalah n + 1.
Dalam kasus ini, n = 9, sehingga jumlah sukunya adalah 9 + 1 = 10 suku.
Karena jumlah sukunya genap (10), maka tidak ada satu suku tengah tunggal, melainkan ada dua suku tengah, yaitu suku ke-(n/2) dan suku ke-(n/2 + 1).
Suku tengah pertama adalah suku ke-(9/2) yang dibulatkan ke atas, yaitu suku ke-5.
Suku tengah kedua adalah suku ke-(9/2 + 1) yang dibulatkan ke atas, yaitu suku ke-6.

Namun, jika yang dimaksud 'suku tengah' adalah suku yang berada di tengah-tengah urutan suku, maka dalam kasus 10 suku, kita bisa menganggap suku ke-5 dan suku ke-6 sebagai suku tengah. Seringkali, jika ditanya 'suku tengah' untuk pangkat genap, yang dimaksud adalah suku yang memiliki indeks k = n/2.
Dalam konteks ini, mari kita asumsikan yang dimaksud adalah suku dengan indeks k yang paling mendekati n/2.

Jika n=9, maka k yang paling 'tengah' adalah ketika k=4 atau k=5.
Mari kita hitung kedua suku tersebut untuk kejelasan, namun biasanya jika hanya diminta 'suku tengah' untuk pangkat ganjil (seperti 9), maka ada satu suku tengah, yaitu suku ke-(n+1)/2. Di sini (9+1)/2 = 5, jadi suku ke-5 adalah suku tengah.

Mari kita hitung suku ke-5 (dengan k=4, karena k dimulai dari 0):
Suku ke-5 = (9 choose 4) * (3x)^(9-4) * (-x^3/6)^4
(9 choose 4) = 9! / (4! * (9-4)!) = 9! / (4! * 5!) = (9 * 8 * 7 * 6) / (4 * 3 * 2 * 1) = 126
(3x)^5 = 243x^5
(-x^3/6)^4 = (x^12) / (6^4) = x^12 / 1296

Suku ke-5 = 126 * 243x^5 * (x^12 / 1296)
= (126 * 243 / 1296) * x^(5+12)
= (30618 / 1296) * x^17
= 23.625 * x^17

Sekarang mari kita hitung suku ke-6 (dengan k=5):
Suku ke-6 = (9 choose 5) * (3x)^(9-5) * (-x^3/6)^5
(9 choose 5) = 9! / (5! * (9-5)!) = 9! / (5! * 4!) = 126 (sama dengan 9 choose 4)
(3x)^4 = 81x^4
(-x^3/6)^5 = (-x^15) / (6^5) = -x^15 / 7776

Suku ke-6 = 126 * 81x^4 * (-x^15 / 7776)
= (126 * 81 / -7776) * x^(4+15)
= (10206 / -7776) * x^19
= -1.3125 * x^19

Jika pertanyaan mengacu pada satu suku tengah untuk pangkat ganjil, maka itu adalah suku ke-(n+1)/2. Untuk n=9, suku tengah adalah suku ke-(9+1)/2 = suku ke-5. Jadi, suku tengahnya adalah 23.625x^17.