A bag contains two red beads and two green beads. Reach

9/32

Pembahasan

Mari kita analisis perubahan jumlah manik-manik merah dan hijau di dalam kantong.

Awal:
Kantong berisi 2 manik-manik merah (M) dan 2 manik-manik hijau (H). Total = 4 manik-manik.

Aturan Penggantian:
Setiap kali kita mengambil satu manik-manik, kita menggantinya dengan satu manik-manik merah, terlepas dari warnanya.

Kita perlu mencari probabilitas semua manik-manik menjadi merah setelah tiga kali penggantian.

Mari kita gunakan notasi (M, H) untuk menyatakan jumlah manik-manik merah dan hijau.
Keadaan awal: (2, 2)

Putaran 1:
Ada dua kemungkinan saat mengambil manik-manik:
1. Mengambil manik-manik merah (probabilitas 2/4 = 1/2).
   Jika merah diambil, diganti merah. Keadaan menjadi (2-1+1, 2) = (2, 2).
2. Mengambil manik-manik hijau (probabilitas 2/4 = 1/2).
   Jika hijau diambil, diganti merah. Keadaan menjadi (2+1, 2-1) = (3, 1).

Jadi, setelah putaran 1, ada dua kemungkinan keadaan:
- (2, 2) dengan probabilitas 1/2
- (3, 1) dengan probabilitas 1/2

Putaran 2:
Kita tinjau dari kedua kemungkinan keadaan setelah putaran 1:

Kasus A: Keadaan adalah (2, 2) (probabilitas 1/2)
   - Mengambil merah (prob 2/4 = 1/2): diganti merah. Menjadi (2, 2).
   - Mengambil hijau (prob 2/4 = 1/2): diganti merah. Menjadi (3, 1).
   Dari keadaan (2, 2) di awal, probabilitas mencapai (2, 2) setelah putaran 2 adalah (1/2)*(1/2) = 1/4.
   Dari keadaan (2, 2) di awal, probabilitas mencapai (3, 1) setelah putaran 2 adalah (1/2)*(1/2) = 1/4.

Kasus B: Keadaan adalah (3, 1) (probabilitas 1/2)
   - Mengambil merah (prob 3/4): diganti merah. Menjadi (3, 1).
   - Mengambil hijau (prob 1/4): diganti merah. Menjadi (4, 0).
   Dari keadaan (3, 1) di awal, probabilitas mencapai (3, 1) setelah putaran 2 adalah (1/2)*(3/4) = 3/8.
   Dari keadaan (3, 1) di awal, probabilitas mencapai (4, 0) setelah putaran 2 adalah (1/2)*(1/4) = 1/8.

Total probabilitas untuk setiap keadaan setelah putaran 2:
- (2, 2): 1/4
- (3, 1): 1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8
- (4, 0): 1/8

Jumlah total probabilitas: 1/4 + 5/8 + 1/8 = 2/8 + 5/8 + 1/8 = 8/8 = 1. (Cocok)

Putaran 3:
Kita ingin mencapai keadaan (4, 0).

Kita tinjau dari keadaan setelah putaran 2:

Kasus 1: Keadaan adalah (2, 2) (probabilitas 1/4)
   Agar menjadi (4, 0), kita harus mengambil 2 hijau dan menggantinya dengan merah. Ini tidak mungkin dalam satu langkah karena hanya mengambil satu manik-manik.
   Jika mengambil merah (prob 2/4): menjadi (2, 2).
   Jika mengambil hijau (prob 2/4): menjadi (3, 1).
   Dari keadaan (2, 2), probabilitas mencapai (4, 0) dalam satu langkah adalah 0.

Kasus 2: Keadaan adalah (3, 1) (probabilitas 5/8)
   - Mengambil merah (prob 3/4): diganti merah. Menjadi (3, 1).
   - Mengambil hijau (prob 1/4): diganti merah. Menjadi (4, 0).
   Probabilitas dari keadaan (3, 1) mencapai (4, 0) adalah (5/8) * (1/4) = 5/32.

Kasus 3: Keadaan adalah (4, 0) (probabilitas 1/8)
   Manik-manik sudah semua merah. Jika kita mengambil merah (prob 4/4 = 1), diganti merah. Menjadi (4, 0).
   Probabilitas dari keadaan (4, 0) tetap (4, 0) adalah (1/8) * 1 = 1/8.

Probabilitas total untuk mencapai keadaan (4, 0) setelah 3 putaran adalah:
(Probabilitas dari Kasus 1 ke (4,0)) + (Probabilitas dari Kasus 2 ke (4,0)) + (Probabilitas dari Kasus 3 ke (4,0))
= 0 + 5/32 + 1/8
= 5/32 + 4/32
= 9/32

Jadi, probabilitas bahwa semua manik-manik adalah merah setelah tiga kali penggantian adalah 9/32.