(2log8 1 0 5log10)-(2log4 1 0 5log2)=. . . .

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal logaritma ini, kita perlu menyederhanakan kedua bagian ekspresi terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat logaritma.

Bagian pertama: (2log8 10 5log10)
Kita gunakan sifat logaritma log_b(a*c) = log_b(a) + log_b(c) dan log_b(b^n) = n.
Namun, bentuk ekspresi ini agak ambigu. Diasumsikan yang dimaksud adalah:
(2 * log 8 + 5 * log 10) atau (log_2 8 + log_5 10) atau (2log(8*10) * 5log(10)).

Mari kita asumsikan bentuk yang paling umum dalam konteks soal seperti ini adalah penjumlahan logaritma dengan basis yang berbeda atau perkalian:
Jika maksudnya adalah $2 	imes rac{\log 8}{\log 10} 	imes 5 	imes rac{\log 10}{\log 10}$ (menggunakan logaritma basis 10 untuk semua), ini menjadi rumit.

Jika maksudnya adalah $2^{\log_8 10} 	imes 5^{\log_{10} 10}$ atau $(2 	imes \log 8) 	imes (5 	imes \log 10)$, mari kita coba interpretasi lain.

Interpretasi yang paling mungkin berdasarkan format penulisan:
$(2 \times \log_{10} 8) + (5 	imes \log_{10} 10)$
$2 	imes \log_{10} 2^3 + 5 	imes 1$
$2 	imes 3 	imes \log_{10} 2 + 5$
$6 \log_{10} 2 + 5$

Bagian kedua: $(2log4 10 5log2)$
Diasumsikan maksudnya adalah $(2 	imes \log_{10} 4) - (5 	imes \log_{10} 2)$
$2 	imes \log_{10} 2^2 - 5 	imes \log_{10} 2$
$2 	imes 2 	imes \log_{10} 2 - 5 	imes \log_{10} 2$
$4 \log_{10} 2 - 5 \log_{10} 2$
$- \log_{10} 2$

Sekarang kita kurangkan bagian kedua dari bagian pertama:
$(6 \log_{10} 2 + 5) - (- \log_{10} 2)$
$6 \log_{10} 2 + 5 + \log_{10} 2$
$7 \log_{10} 2 + 5$

Karena soal ini memiliki format penulisan yang tidak standar dan ambigu, sulit untuk memberikan jawaban pasti tanpa klarifikasi. Namun, jika kita menganggap formatnya adalah $a 	imes 	ext{log}_b c$, maka perhitungan di atas adalah salah satu interpretasi.

Jika maksud soal adalah:
$(^2	ext{log}8 + ^5	ext{log}10) - (^2	ext{log}4 + ^5	ext{log}2)$

Mari kita coba interpretasi lain yang lebih umum dalam soal olimpiade: $(a 	imes 	ext{log}_b c)$ berarti $a 	imes 	ext{log}_b c$.

Soal: $(2 	imes 	ext{log}_? 8 	imes 	ext{log}_? 10) - (2 	imes 	ext{log}_? 4 	imes 	ext{log}_? 2)$ - ini juga ambigu.

Jika kita menganggap basisnya sama dan implisit (misalnya basis 10):
$(2 	imes 	ext{log} 8 	imes 	ext{log} 10) - (2 	imes 	ext{log} 4 	imes 	ext{log} 2)$
$	ext{log} 10 = 1$
$(2 	imes 	ext{log} 2^3 	imes 1) - (2 	imes 	ext{log} 2^2 	imes 	ext{log} 2)$
$(2 	imes 3 	imes 	ext{log} 2) - (2 	imes 2 	imes 	ext{log} 2 	imes 	ext{log} 2)$
$6 	ext{log} 2 - 4 (	ext{log} 2)^2$

Ini juga tidak menghasilkan jawaban numerik sederhana.

**Asumsi lain yang lebih masuk akal adalah penggunaan notasi pangkat pada logaritma:**

$(^2	ext{log}8 	imes ^5	ext{log}10) - (^2	ext{log}4 	imes ^5	ext{log}2)$

Untuk menghitung ini, kita perlu tahu basis logaritmanya. Jika basisnya sama dan implisit, misalnya 10:

$(2 	imes 	ext{log}_{10} 8 	imes 	ext{log}_{10} 10) - (2 	imes 	ext{log}_{10} 4 	imes 	ext{log}_{10} 2)$
$	ext{log}_{10} 10 = 1$
$(2 	imes 	ext{log}_{10} 2^3 	imes 1) - (2 	imes 	ext{log}_{10} 2^2 	imes 	ext{log}_{10} 2)$
$(2 	imes 3 	imes 	ext{log}_{10} 2) - (2 	imes 2 	imes 	ext{log}_{10} 2 	imes 	ext{log}_{10} 2)$
$6 	ext{log}_{10} 2 - 4 (	ext{log}_{10} 2)^2$

Ini masih belum sederhana.

**Mari kita coba interpretasi di mana angka sebelum log adalah pangkat dari logaritma itu sendiri, yaitu $(log_b a)^n$ atau $log_b (a^n)$:**

Jika maksudnya adalah: $(2 	imes 	ext{log}_{10} 8 + 5 	imes 	ext{log}_{10} 10) - (2 	imes 	ext{log}_{10} 4 + 5 	imes 	ext{log}_{10} 2)$
Ini sama dengan contoh pertama kita yang menghasilkan $7 	ext{log}_{10} 2 + 5$. Tidak sederhana.

**Jika kita menganggap notasi $a 	ext{log} b$ sebagai $	ext{log}_{a^k} b$ atau $	ext{log}_a b^k$ atau $	ext{log}_{a} b$, mari kita coba interpretasi yang umum dalam soal ujian:**

Kemungkinan besar soal ini mengandung kesalahan penulisan atau notasi yang tidak standar. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa "2log8" berarti $2 	imes 	ext{log} 8$, "5log10" berarti $5 	imes 	ext{log} 10$, dan seterusnya, dengan basis logaritma yang sama (misalnya basis 10), maka:

Bagian 1: $(2 	imes 	ext{log}_{10} 8) + (5 	imes 	ext{log}_{10} 10)$
$= (2 	imes 	ext{log}_{10} 2^3) + (5 	imes 1)$
$= (2 	imes 3 	imes 	ext{log}_{10} 2) + 5$
$= 6 	ext{log}_{10} 2 + 5$

Bagian 2: $(2 	imes 	ext{log}_{10} 4) - (5 	imes 	ext{log}_{10} 2)$
$= (2 	imes 	ext{log}_{10} 2^2) - (5 	imes 	ext{log}_{10} 2)$
$= (2 	imes 2 	imes 	ext{log}_{10} 2) - 5 	imes 	ext{log}_{10} 2$
$= 4 	ext{log}_{10} 2 - 5 	ext{log}_{10} 2$
$= - 	ext{log}_{10} 2$

Selisihnya:
$(6 	ext{log}_{10} 2 + 5) - (-	ext{log}_{10} 2)$
$= 6 	ext{log}_{10} 2 + 5 + 	ext{log}_{10} 2$
$= 7 	ext{log}_{10} 2 + 5$

Ini masih belum memberikan jawaban numerik yang pasti. **Jika kita mengasumsikan basis logaritma adalah angka di depannya, yaitu $log_2 8$ dan $log_5 10$, maka:**

Bagian 1: $(	ext{log}_2 8 + 	ext{log}_5 10)$
$= 3 + 	ext{log}_5 (5 	imes 2)$
$= 3 + 	ext{log}_5 5 + 	ext{log}_5 2$
$= 3 + 1 + 	ext{log}_5 2$
$= 4 + 	ext{log}_5 2$

Bagian 2: $(	ext{log}_2 4 + 	ext{log}_5 2)$
$= 2 + 	ext{log}_5 2$

Selisihnya:
$(4 + 	ext{log}_5 2) - (2 + 	ext{log}_5 2)$
$= 4 + 	ext{log}_5 2 - 2 - 	ext{log}_5 2$
$= 2

Ini adalah interpretasi yang paling mungkin menghasilkan jawaban sederhana.

Jadi, dengan asumsi $(a 	ext{log} b)$ berarti $	ext{log}_a b$ dan $(a 	ext{log} b c)$ berarti $(	ext{log}_a b + 	ext{log}_a c)$, maka:
$(^2	ext{log}8 + ^5	ext{log}10) - (^2	ext{log}4 + ^5	ext{log}2)$
$= (3 + 	ext{log}_5 10) - (2 + 	ext{log}_5 2)$
$= (3 + 	ext{log}_5 (5 	imes 2)) - (2 + 	ext{log}_5 2)$
$= (3 + 	ext{log}_5 5 + 	ext{log}_5 2) - (2 + 	ext{log}_5 2)$
$= (3 + 1 + 	ext{log}_5 2) - (2 + 	ext{log}_5 2)$
$= (4 + 	ext{log}_5 2) - (2 + 	ext{log}_5 2)$
$= 4 + 	ext{log}_5 2 - 2 - 	ext{log}_5 2$
$= 2