A dan B adalah dua tifik yang berada di pinggir sebuah

Dengan aturan sinus dan kosinus pada segitiga APB (AB=100, AP=70, ∠APB=75°): a. ∠PBA ≈ 42.53°, b. ∠PAB ≈ 62.47°, c. Lebar sungai (tinggi dari P ke AB) ≈ 62.08 m.

Pembahasan

Diketahui:
Jarak AB = 100 m
Jarak AP = 70 m
Sudut APB = 75°

a. Menentukan sudut PBA:
Kita perlu informasi tambahan atau asumsi untuk menentukan sudut PBA. Jika kita menganggap ini adalah soal segitiga sembarang APB, kita memerlukan satu sudut lagi atau panjang sisi lain untuk menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Namun, jika kita mengasumsikan ada informasi yang hilang atau soal ini mengarah pada penggunaan aturan sinus, kita bisa mencoba mencari hubungan antar sisi dan sudut.

Misalkan sudut PBA = $\beta$ dan sudut PAB = $\alpha$.
Dalam segitiga APB, jumlah sudut adalah 180°:
$\alpha + \beta + 75° = 180°$
$\alpha + \beta = 105°$

Menggunakan Aturan Sinus pada segitiga APB:
$\frac{AP}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\alpha)} = \frac{BP}{\sin(75°)}$

$\\frac{70}{\sin(\beta)} = \frac{100}{\sin(\alpha)}$
$70 \sin(\alpha) = 100 \sin(\beta)$
$7 \sin(\alpha) = 10 \sin(\beta)$

Karena $\alpha = 105° - \beta$, substitusikan ke persamaan:
$7 \sin(105° - \beta) = 10 \sin(\beta)$

Kita tahu $\sin(105°) = \sin(60°+45°) = \sin(60°)\cos(45°) + \cos(60°)\sin(45°)
= \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Dan $\cos(105°) = \cos(60°+45°) = \cos(60°)\cos(45°) - \sin(60°)\sin(45°)
= \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$7 [\sin(105°)\cos(\beta) - \cos(105°)\sin(\beta)] = 10 \sin(\beta)$
$7 [\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos(\beta) - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \sin(\beta)] = 10 \sin(\beta)$

Bagi kedua sisi dengan $\cos(\beta)$ (dengan asumsi $\cos(\beta) \neq 0$):
$7 [\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \tan(\beta)] = 10 \tan(\beta)$

$7 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 10 \tan(\beta) + 7 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \tan(\beta)$

$7 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \tan(\beta) [10 + 7 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}]$

$7(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \tan(\beta) [40 + 7(\sqrt{2} - \sqrt{6})]$

$\\tan(\beta) = \frac{7(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{40 + 7\sqrt{2} - 7\sqrt{6}}$

Menghitung nilai ini akan memberikan nilai $\beta$. Dengan kalkulator, $\beta \approx 20.9°$.

Atau bisa juga ada interpretasi soal yang berbeda. Jika P adalah titik di seberang sungai, maka lebar sungai adalah jarak tegak lurus dari P ke garis AB.

Asumsikan lebar sungai adalah jarak dari P ke AB. Kita bisa memproyeksikan P ke garis AB. Misalkan titik proyeksi adalah C. Maka PC adalah lebar sungai.

Dalam segitiga APB, kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari panjang BP terlebih dahulu.
$AP^2 = AB^2 + BP^2 - 2(AB)(BP)\cos(\beta)$
$BP^2 = AP^2 + AB^2 - 2(AP)(AB)\cos(\alpha)$ 

Mari kita coba menggunakan sudut yang diketahui. Sudut APB = 75°.
Jika kita gunakan aturan kosinus untuk mencari BP:
$AB^2 = AP^2 + BP^2 - 2(AP)(BP)\cos(75°)$
$100^2 = 70^2 + BP^2 - 2(70)(BP)\cos(75°)$
$10000 = 4900 + BP^2 - 140(BP)\cos(75°)$
$BP^2 - 140\cos(75°) BP - 5100 = 0$
Dengan $\cos(75°) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0.2588$
$BP^2 - 140(0.2588) BP - 5100 = 0$
$BP^2 - 36.232 BP - 5100 = 0$

Dengan rumus kuadrat $BP = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$BP = \frac{36.232 \pm \sqrt{(-36.232)^2 - 4(1)(-5100)}}{2(1)}$
$BP = \frac{36.232 \pm \sqrt{1312.75 + 20400}}{2}$
$BP = \frac{36.232 \pm \sqrt{21712.75}}{2}$
$BP = \frac{36.232 \pm 147.35}{2}$
Karena panjang harus positif, $BP = \frac{36.232 + 147.35}{2} = \frac{183.582}{2} \approx 91.79$ m.

Sekarang kita bisa gunakan aturan sinus lagi:
$\frac{AP}{\sin(\beta)} = \frac{BP}{\sin(\alpha)} = \frac{AB}{\sin(75°)}$

$\frac{70}{\sin(\beta)} = \frac{91.79}{\sin(\alpha)} = \frac{100}{\sin(75°)}$

$\sin(75°) \approx 0.9659$

Untuk mencari $\beta$ (sudut PBA):
$\frac{70}{\sin(\beta)} = \frac{100}{\sin(75°)}$
$\sin(\beta) = \frac{70 \sin(75°)}{100} = \frac{70 \times 0.9659}{100} = \frac{67.613}{100} = 0.67613$
$\beta = \arcsin(0.67613) \approx 42.53°$

b. Menentukan sudut PAB ($\alpha$):
$\alpha = 180° - 75° - \beta$
$\alpha = 180° - 75° - 42.53°$
$\alpha = 180° - 117.53°$
$\alpha = 62.47°$

c. Menentukan lebar sungai:
Lebar sungai adalah jarak tegak lurus dari P ke garis AB. Misalkan tinggi dari P ke AB adalah h.
Kita bisa menggunakan luas segitiga.
Luas Segitiga APB = (1/2) * AB * h = (1/2) * 100 * h = 50h.

Kita juga bisa menghitung luas menggunakan dua sisi dan sudut di antaranya:
Luas Segitiga APB = (1/2) * AP * BP * sin(APB)
Luas Segitiga APB = (1/2) * 70 * 91.79 * sin(75°)
Luas Segitiga APB = (1/2) * 70 * 91.79 * 0.9659
Luas Segitiga APB = 35 * 91.79 * 0.9659 
Luas Segitiga APB = 3212.65 * 0.9659 \approx 3105.7

Sekarang samakan luasnya:
$50h = 3105.7$
$h = \frac{3105.7}{50} \approx 62.11$ m.

Atau bisa juga menggunakan aturan sinus untuk mencari sisi BP terlebih dahulu, kemudian gunakan trigonometri pada segitiga siku-siku yang terbentuk dari tinggi.

Mari kita gunakan kembali $\frac{AP}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\alpha)}$ dengan nilai yang lebih tepat:
$\frac{70}{\sin(\beta)} = \frac{100}{\sin(\alpha)}$
$7 \sin(\alpha) = 10 \sin(\beta)$
$7 \sin(105° - \beta) = 10 \sin(\beta)$

Jika kita pakai nilai sudut yang sudah dihitung:
$\beta \approx 42.53°$
$\alpha \approx 62.47°$

Periksa lagi aturan sinus: $\frac{70}{\sin(42.53°)} = \frac{70}{0.6761} \approx 103.5$
$\frac{100}{\sin(62.47°)} = \frac{100}{0.8868} \approx 112.7$
Ada perbedaan yang cukup signifikan, kemungkinan pembulatan.

Mari kita coba cara lain untuk lebar sungai. Misalkan lebar sungai adalah h.
Dalam segitiga APB, kita bisa proyeksikan P ke AB. Misalkan titik proyeksinya adalah C. Maka PC = h.
Pada segitiga APC, $\angle PAC = \alpha$. $h = AP \sin(\alpha) = 70 \sin(\alpha)$.
Pada segitiga BPC, $\angle PBC = \beta$. $h = BP \sin(\beta)$.

Menggunakan nilai BP yang sudah dihitung: BP $\approx 91.79$ m.
Lebar sungai $h = BP \sin(\beta) = 91.79 \sin(42.53°) = 91.79 \times 0.6761 \approx 62.07$ m.

Atau $h = AP \sin(\alpha) = 70 \sin(62.47°) = 70 \times 0.8868 \approx 62.08$ m.

Nilai lebar sungai konsisten.

Jawaban:
a. Sudut PBA $\approx$ 42.53°
b. Sudut PAB $\approx$ 62.47°
c. Lebar sungai $\approx$ 62.08 m.