(a) integral sin (3/x) d(1/x)=... (b) integral (3)/(2x+5)^2

(a) -1/3 cos(3/x) + C, (b) -3/(4x+10) + C

Pembahasan

Berikut adalah penyelesaian untuk kedua integral tersebut:

(a) Integral sin (3/x) d(1/x)
Misalkan u = 1/x, maka du = -1/x^2 dx. Perhatikan bahwa d(1/x) = (1/x)' dx = -1/x^2 dx. Sehingga, dx = -x^2 du.
Substitusi ini tidak langsung menyederhanakan integral karena adanya x^2.

Mari kita coba substitusi lain. Misalkan u = 3/x. Maka du = -3/x^2 dx. Ini juga tidak cocok karena kita punya d(1/x).

Kita perhatikan bentuk d(1/x). Ini adalah diferensial dari 1/x. Jika kita mengintegralkan sin(f(x)) * f'(x) dx, hasilnya adalah -cos(f(x)).
Dalam kasus ini, f(x) = 3/x. Maka f'(x) = d/dx (3/x) = -3/x^2. Yang kita miliki di integral adalah d(1/x), yang setara dengan (1/x)' dx = -1/x^2 dx.

Mari kita manipulasi integralnya: integral sin (3/x) d(1/x).
Misalkan u = 1/x, maka integralnya menjadi integral sin(3u) du.
Sekarang kita bisa mengintegralkan ini:
Integral sin(3u) du = (-1/3) cos(3u) + C.
Substitusikan kembali u = 1/x:
= (-1/3) cos(3/x) + C.

(b) Integral (3)/(2x+5)^2 dx
Kita dapat mengeluarkan konstanta 3 dari integral:
3 * integral 1/(2x+5)^2 dx

Misalkan u = 2x+5, maka du = 2 dx, atau dx = du/2.
Substitusikan ke dalam integral:
3 * integral 1/u^2 * (du/2)
= (3/2) * integral u^-2 du

Sekarang integralkan u^-2:
(3/2) * [ u^(-2+1) / (-2+1) ] + C
= (3/2) * [ u^-1 / -1 ] + C
= (3/2) * (-1/u) + C
= -3/(2u) + C

Substitusikan kembali u = 2x+5:
= -3 / (2 * (2x+5)) + C
= -3 / (4x+10) + C