Akar-akar dari persamaan x^3-12x^2+44x+k=0 membentuk

-48

Pembahasan

Misalkan akar-akar dari persamaan $x^3-12x^2+44x+k=0$ adalah $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$. Karena akar-akar tersebut membentuk barisan aritmetika dengan beda 2, kita dapat menuliskannya sebagai:
$
\alpha = a - d$
$\beta = a$
$\gamma = a + d$

Di sini, $d=2$ adalah beda barisan aritmetika.
Jadi, akar-akarnya adalah $a-2$, $a$, dan $a+2$.

Dari teorema Vieta untuk persamaan kubik $x^3+px^2+qx+r=0$, kita tahu bahwa:
1. Jumlah akar-akar: $\alpha + \beta + \gamma = -p$
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: $\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = q$
3. Hasil kali akar-akar: $\alpha\beta\gamma = -r$

Dalam persamaan kita, $x^3-12x^2+44x+k=0$, kita punya $p=-12$, $q=44$, dan $r=k$.

Menggunakan sifat jumlah akar-akar:
$(a-2) + a + (a+2) = -(-12)$
$3a = 12$
$a = 4$

Jadi, nilai tengah dari akar-akar tersebut adalah 4. Akar-akarnya adalah $4-2=2$, $4$, dan $4+2=6$.

Sekarang kita gunakan sifat hasil kali akar-akar untuk mencari nilai $k$:
$\alpha\beta\gamma = -r$
$(2)(4)(6) = -k$
$48 = -k$
$k = -48$

Kita juga bisa memeriksa menggunakan sifat jumlah hasil kali akar-akar berpasangan:
$\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = q$
$(2)(4) + (2)(6) + (4)(6) = 44$
$8 + 12 + 24 = 44$
$44 = 44$
Ini konsisten.

Maka, nilai $k$ adalah -48.