Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3

E. y = -1/2 x^2 + 2x - 5

Pembahasan

Misalkan fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = ax^2 + bx + c. Nilai maksimum -3 untuk x = 2 berarti f(2) = -3 dan titik puncaknya adalah (2, -3). Rumus sumbu simetri adalah x = -b/(2a), sehingga 2 = -b/(2a) atau b = -4a. Karena f(2) = -3, maka a(2)^2 + b(2) + c = -3, yang menghasilkan 4a + 2b + c = -3. Untuk x = -2, nilai fungsi adalah 11, sehingga f(-2) = 11. Maka a(-2)^2 + b(-2) + c = 11, yang menghasilkan 4a - 2b + c = 11. Substitusikan b = -4a ke dalam kedua persamaan: 4a + 2(-4a) + c = -3 => 4a - 8a + c = -3 => -4a + c = -3. Persamaan kedua: 4a - 2(-4a) + c = 11 => 4a + 8a + c = 11 => 12a + c = 11. Sekarang kita punya sistem dua persamaan: -4a + c = -3 dan 12a + c = 11. Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua: (12a + c) - (-4a + c) = 11 - (-3) => 12a + c + 4a - c = 14 => 16a = 14 => a = 14/16 = 7/8. Namun, pilihan jawaban memiliki koefisien a berupa pecahan dengan penyebut 2. Mari kita periksa kembali. Jika f(x) = ax^2 + bx + c, maka f'(x) = 2ax + b. Karena nilai maksimum terjadi di x = 2, maka f'(2) = 0. Jadi, 2a(2) + b = 0 => 4a + b = 0 => b = -4a. f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = -3. f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c = 11. Substitusikan b = -4a ke dalam f(2): 4a + 2(-4a) + c = -3 => 4a - 8a + c = -3 => -4a + c = -3. Substitusikan b = -4a ke dalam f(-2): 4a - 2(-4a) + c = 11 => 4a + 8a + c = 11 => 12a + c = 11. Kurangkan persamaan pertama dari kedua: (12a + c) - (-4a + c) = 11 - (-3) => 16a = 14 => a = 14/16 = 7/8. Ini tidak cocok dengan pilihan. Mari kita coba salah satu pilihan, misalnya A: y = -1/2 x^2 + 2x - 3. Maka a = -1/2, b = 2, c = -3. Sumbu simetri: x = -b/(2a) = -2/(2*(-1/2)) = -2/(-1) = 2. Nilai maksimum di x = 2: y = -1/2 (2)^2 + 2(2) - 3 = -1/2 (4) + 4 - 3 = -2 + 4 - 3 = -1. Ini tidak sesuai karena nilai maksimum seharusnya -3. Mari kita coba pilihan E: y = -1/2 x^2 + 2x - 5. Maka a = -1/2, b = 2, c = -5. Sumbu simetri: x = -b/(2a) = -2/(2*(-1/2)) = 2. Nilai maksimum di x = 2: y = -1/2 (2)^2 + 2(2) - 5 = -1/2 (4) + 4 - 5 = -2 + 4 - 5 = -3. Ini sesuai dengan nilai maksimum -3 di x = 2. Sekarang periksa nilai di x = -2: y = -1/2 (-2)^2 + 2(-2) - 5 = -1/2 (4) - 4 - 5 = -2 - 4 - 5 = -11. Ini tidak sesuai karena nilai seharusnya 11. Ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban. Namun, jika kita mengasumsikan nilai minimum di x=2 dan nilai maksimum di x=-2, maka: f(x) = ax^2+bx+c. f'(x)=2ax+b. f'(2)=4a+b=0 -> b=-4a. f(2)=4a+2b+c = 4a+2(-4a)+c = 4a-8a+c = -4a+c = -3. f(-2)=4a-2b+c = 4a-2(-4a)+c = 4a+8a+c = 12a+c = 11. Dari -4a+c=-3, maka c=4a-3. Substitusikan ke 12a+c=11: 12a+(4a-3)=11 -> 16a=14 -> a=14/16=7/8. b=-4a=-4(7/8)=-7/2. c=4a-3=4(7/8)-3=7/2-3=1/2. Fungsi: y=7/8 x^2 - 7/2 x + 1/2. Ini tidak ada di pilihan. Kita kembali ke analisis awal, dengan f(2)=-3 dan f(-2)=11, serta maksimum di x=2. Pilihan E: y = -1/2 x^2 + 2x - 5. f(2) = -1/2(4) + 2(2) - 5 = -2 + 4 - 5 = -3. f(-2) = -1/2(4) + 2(-2) - 5 = -2 - 4 - 5 = -11. Pilihan A: y = -1/2 x^2 + 2x - 3. f(2) = -1/2(4) + 2(2) - 3 = -2 + 4 - 3 = -1. Pilihan yang paling mendekati adalah E, meskipun nilai di x=-2 tidak sesuai. Ada kemungkinan soal bermaksud nilai minimum di x=2 dan nilai maksimum di x=-2. Mari kita asumsikan soalnya benar dan kita analisis pilihan E lebih lanjut, karena f(2)=-3 sudah terpenuhi. Jika kita mengabaikan syarat nilai maksimum untuk x=-2 dan fokus pada nilai maksimum -3 di x=2, maka E adalah jawaban yang paling mungkin jika ada kesalahan pengetikan di soal atau pilihan.