Asimtot miring dari grafik g(x)=(3x^5+x^4+2x^2+1)/(x^4+3)

y = 3x + 1

Pembahasan

Untuk menentukan asimtot miring dari grafik fungsi rasional g(x) = (3x^5 + x^4 + 2x^2 + 1) / (x^4 + 3), kita perlu membandingkan derajat polinomial pembilang dan penyebut.

Derajat pembilang (n) = 5
Derajat penyebut (m) = 4

Karena n = m + 1 (yaitu, derajat pembilang tepat satu lebih besar dari derajat penyebut), maka fungsi tersebut memiliki asimtot miring. Asimtot miring dapat ditemukan dengan melakukan pembagian polinomial.

Kita akan membagi 3x^5 + x^4 + 0x^3 + 2x^2 + 0x + 1 dengan x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 3.

Langkah pembagian polinomial:

1. Bagi suku pertama pembilang (3x^5) dengan suku pertama penyebut (x^4): 3x^5 / x^4 = 3x. Ini adalah suku pertama dari hasil bagi (asimtot miring).

2. Kalikan hasil bagi (3x) dengan penyebut (x^4 + 3): 3x * (x^4 + 3) = 3x^5 + 9x.

3. Kurangkan hasil perkalian ini dari pembilang:
   (3x^5 + x^4 + 2x^2 + 1) - (3x^5 + 9x) = x^4 + 2x^2 - 9x + 1.

4. Sekarang, kita lihat hasil pengurangan (x^4 + 2x^2 - 9x + 1). Derajat dari hasil pengurangan ini (4) sama dengan derajat penyebut (4). Kita lanjutkan pembagian.

5. Bagi suku pertama hasil pengurangan (x^4) dengan suku pertama penyebut (x^4): x^4 / x^4 = 1. Ini adalah suku kedua dari hasil bagi.

6. Kalikan hasil bagi kedua (1) dengan penyebut (x^4 + 3): 1 * (x^4 + 3) = x^4 + 3.

7. Kurangkan hasil perkalian ini dari hasil pengurangan sebelumnya:
   (x^4 + 2x^2 - 9x + 1) - (x^4 + 3) = 2x^2 - 9x - 2.

Sisa pembagian adalah 2x^2 - 9x - 2. Derajat sisa (2) lebih kecil dari derajat penyebut (4), sehingga pembagian selesai.

Jadi, g(x) dapat ditulis sebagai:
g(x) = (3x + 1) + (2x^2 - 9x - 2) / (x^4 + 3)

Ketika x mendekati tak hingga (positif atau negatif), suku pecahan (2x^2 - 9x - 2) / (x^4 + 3) akan mendekati 0, karena derajat penyebut lebih besar.

Oleh karena itu, asimtot miringnya adalah bagian hasil bagi polinomial, yaitu y = 3x + 1.

Jadi, asimtot miring dari grafik g(x)=(3x^5+x^4+2x^2+1)/(x^4+3) adalah y = 3x + 1.