Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan 2cos^2x+7sinx=5

Ada 2 nilai x yang memenuhi persamaan.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 2cos^2x + 7sinx = 5 pada interval 0 <= x <= 2pi, kita perlu mengubahnya ke dalam satu fungsi trigonometri. Kita dapat menggunakan identitas cos^2x = 1 - sin^2x.

Substitusikan identitas ke dalam persamaan:
2(1 - sin^2x) + 7sinx = 5
2 - 2sin^2x + 7sinx = 5

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat dalam sinx:
-2sin^2x + 7sinx + 2 - 5 = 0
-2sin^2x + 7sinx - 3 = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan -1 agar koefisien sin^2x positif:
2sin^2x - 7sinx + 3 = 0

Sekarang, kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus kuadrat. Misalkan y = sinx:
2y^2 - 7y + 3 = 0

Memfaktorkan persamaan:
(2y - 1)(y - 3) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk y (atau sinx):
1) 2y - 1 = 0  =>  2y = 1  =>  y = 1/2
   Jadi, sinx = 1/2
2) y - 3 = 0   =>  y = 3
   Jadi, sinx = 3

Sekarang kita analisis kedua solusi:
Untuk sinx = 1/2:
Dalam interval 0 <= x <= 2pi, nilai sinx = 1/2 terjadi di dua kuadran: kuadran pertama dan kuadran kedua.
- Di kuadran pertama, x = arcsin(1/2) = pi/6.
- Di kuadran kedua, x = pi - arcsin(1/2) = pi - pi/6 = 5pi/6.

Untuk sinx = 3:
Nilai sinus suatu sudut tidak pernah bisa lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1. Oleh karena itu, sinx = 3 tidak memiliki solusi yang valid.

Jadi, hanya ada dua nilai x yang memenuhi persamaan dalam interval 0 <= x <= 2pi, yaitu x = pi/6 dan x = 5pi/6.

Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan adalah 2.