Barisan bilangan log (n^2 m^(-4)),-1/4 log (n^3 m^12), 1/2

Soal ini memiliki inkonsistensi data sehingga tidak dapat diselesaikan untuk menemukan nilai 'a' secara pasti.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai 'a', kita perlu memahami konsep barisan aritmetika dan properti logaritma.

Diketahui tiga suku pertama barisan aritmetika:
Suku ke-1 (U1): log (n^2 * m^(-4))
Suku ke-2 (U2): -1/4 * log (n^3 * m^12)
Suku ke-3 (U3): 1/2 * log (n^5 * m^(-8))

Dalam barisan aritmetika, selisih antara dua suku berurutan adalah konstan (disebut beda, dilambangkan dengan 'b'). Jadi, U2 - U1 = U3 - U2 = b.

Mari kita sederhanakan suku-suku tersebut menggunakan sifat logaritma (log(a^b) = b*log(a) dan log(a*b) = log(a) + log(b)):
U1 = log(n^2) - log(m^4) = 2 log n - 4 log m
U2 = -1/4 * (log(n^3) + log(m^12)) = -1/4 * (3 log n + 12 log m) = -3/4 log n - 3 log m
U3 = 1/2 * (log(n^5) + log(m^(-8))) = 1/2 * (5 log n - 8 log m) = 5/2 log n - 4 log m

Sekarang kita hitung bedanya:
b = U2 - U1 = (-3/4 log n - 3 log m) - (2 log n - 4 log m) = (-3/4 - 2) log n + (-3 - (-4)) log m = -11/4 log n + log m

b = U3 - U2 = (5/2 log n - 4 log m) - (-3/4 log n - 3 log m) = (5/2 - (-3/4)) log n + (-4 - (-3)) log m = (10/4 + 3/4) log n + (-4 + 3) log m = 13/4 log n - log m

Karena beda harus konstan, maka -11/4 log n + log m = 13/4 log n - log m.
Ini menyiratkan bahwa koefisien log n dan log m harus sama, yang hanya mungkin jika log n = 0 (n=1) dan log m = 0 (m=1), atau jika ada kesalahan dalam soal atau penafsiran. Namun, kita bisa menyamakan kedua ekspresi beda tersebut untuk mencari hubungan antara log n dan log m.

Mari kita gunakan rumus suku ke-n barisan aritmetika: Un = U1 + (n-1)b.
Diketahui suku ke-2.013 (U2013) adalah log n^4 = 4 log n.
U2013 = U1 + (2013-1)b
4 log n = (2 log n - 4 log m) + 2012 * b

Karena ada ketidaksesuaian dalam perhitungan beda dari suku-suku yang diberikan (menghasilkan dua nilai beda yang berbeda jika n dan m bukan 1), mari kita asumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan coba cari nilai 'a' jika 'a' adalah suku pertama (U1) atau beda (b) dari barisan tersebut, atau jika 'a' adalah variabel yang harus dicari dari kondisi yang diberikan.

Namun, jika kita kembali ke kesamaan beda:
-11/4 log n + log m = 13/4 log n - log m
2 log m = (13/4 + 11/4) log n
2 log m = 24/4 log n
2 log m = 6 log n
log m^2 = log n^6
m^2 = n^6
m = n^3 (jika m dan n positif)

Sekarang substitusikan hubungan ini ke dalam salah satu ekspresi beda, misalnya b = -11/4 log n + log m:
b = -11/4 log n + log(n^3)
b = -11/4 log n + 3 log n
b = (-11/4 + 12/4) log n
b = 1/4 log n

Sekarang gunakan rumus Un = U1 + (n-1)b dengan U2013 = 4 log n:
U2013 = U1 + (2013-1)b
4 log n = (2 log n - 4 log m) + 2012 * (1/4 log n)
4 log n = 2 log n - 4 log(n^3) + 503 log n
4 log n = 2 log n - 4 * (3 log n) + 503 log n
4 log n = 2 log n - 12 log n + 503 log n
4 log n = (2 - 12 + 503) log n
4 log n = 493 log n

Persamaan ini hanya benar jika log n = 0 (n=1), yang akan membuat semua suku menjadi 0, dan U2013 = 0, bukan 4 log n. Hal ini menunjukkan adanya inkonsistensi dalam soal yang diberikan. 

Jika kita mengasumsikan bahwa 'a' yang dimaksud adalah suku pertama (U1) atau beda (b) atau variabel lain yang tidak didefinisikan dengan jelas, kita tidak dapat menemukan nilai numerik yang pasti tanpa klarifikasi atau koreksi pada soal.