Berapa cara orang dapat membaca perkataan permutasi,

48

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan menghitung jumlah cara membaca perkataan "permutation" yang tersusun dalam bentuk piramida. Setiap langkah harus bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.

Susunan huruf:
p e r m
e r m u
r m u t
m u t a
u t a s
t a s i

Kita dapat menyelesaikan ini menggunakan prinsip kombinatorik atau dengan membangun diagram pohon.

Cara yang lebih mudah untuk ini adalah dengan menyadari bahwa setiap huruf pada baris ke-n dapat dicapai dari huruf di atasnya pada baris ke-(n-1) yang berada di posisi yang sama atau satu posisi di sebelah kanan.

Mari kita hitung jumlah cara untuk mencapai setiap sel:

Baris 1:
p: 1
e: 1
r: 1
m: 1

Baris 2:
e: 1 (dari p)
r: 1 (dari e) + 1 (dari e) = 2
m: 1 (dari r) + 1 (dari r) = 2
u: 1 (dari m) = 1

Baris 3:
r: 1 (dari e) + 2 (dari r) = 3
m: 2 (dari r) + 2 (dari m) = 4
u: 2 (dari m) + 1 (dari u) = 3
t: 1 (dari u) = 1

Baris 4:
m: 3 (dari r) + 4 (dari m) = 7
u: 4 (dari m) + 3 (dari u) = 7
t: 3 (dari u) + 1 (dari t) = 4
a: 1 (dari t) = 1

Baris 5:
u: 7 (dari m) + 7 (dari u) = 14
t: 7 (dari u) + 4 (dari t) = 11
a: 4 (dari t) + 1 (dari a) = 5
s: 1 (dari a) = 1

Baris 6:
t: 14 (dari u) + 11 (dari t) = 25
a: 11 (dari t) + 5 (dari a) = 16
s: 5 (dari a) + 1 (dari s) = 6
i: 1 (dari s) = 1

Total cara untuk membaca perkataan tersebut adalah jumlah cara untuk mencapai huruf terakhir pada baris terakhir, yaitu 'i'. Namun, soal menanyakan cara membaca perkataan "permutation", yang berarti kita harus mencapai akhir kata.

Jika kita mengasumsikan bahwa kita harus membaca seluruh kata "permutation" yang tersusun secara vertikal, maka kita perlu mencari jumlah cara untuk mencapai semua huruf dari 'p' di kiri atas ke 'i' di kanan bawah, dengan pergerakan hanya ke kanan atau ke bawah.

Dalam susunan yang diberikan, kita perlu mencari jumlah jalur dari sel 'p' pada baris 1 kolom 1 ke sel 'i' pada baris 6 kolom 4.

Jumlah langkah ke kanan (R) yang dibutuhkan adalah 3 (dari kolom 1 ke kolom 4).
Jumlah langkah ke bawah (D) yang dibutuhkan adalah 5 (dari baris 1 ke baris 6).

Total langkah adalah 3 + 5 = 8 langkah.

Masalahnya adalah susunan hurufnya tidak membentuk jalur lurus. Setiap baris memiliki huruf yang berbeda dan kita hanya bisa bergerak ke kanan bawah.

Mari kita gunakan pendekatan yang benar untuk soal ini yang mirip dengan menghitung jalur pada grid.

p e r m
e r m u
r m u t
m u t a
u t a s
t a s i

Kita dapat menghitung jumlah cara untuk mencapai setiap sel dari sel di atasnya (dengan bergerak ke kanan atau langsung ke bawah).

Baris 1:
p: 1
e: 1
r: 1
m: 1

Baris 2:
e: 1 (dari p)
r: 1 (dari e) + 1 (dari e) = 2
m: 1 (dari r) + 1 (dari r) = 2
u: 1 (dari m) = 1

Baris 3:
r: 1 (dari e) + 2 (dari r) = 3
m: 2 (dari r) + 2 (dari m) = 4
u: 2 (dari m) + 1 (dari u) = 3
t: 1 (dari u) = 1

Baris 4:
m: 3 (dari r) + 4 (dari m) = 7
u: 4 (dari m) + 3 (dari u) = 7
t: 3 (dari u) + 1 (dari t) = 4
a: 1 (dari t) = 1

Baris 5:
u: 7 (dari m) + 7 (dari u) = 14
t: 7 (dari u) + 4 (dari t) = 11
a: 4 (dari t) + 1 (dari a) = 5
s: 1 (dari a) = 1

Baris 6:
t: 14 (dari u) + 11 (dari t) = 25
a: 11 (dari t) + 5 (dari a) = 16
s: 5 (dari a) + 1 (dari s) = 6
i: 1 (dari s) = 1

Namun, jika kita hanya membaca perkataan "permutation", kita harus mengikuti jalur yang membentuk kata tersebut. Susunan ini lebih seperti teka-teki Pascal's triangle.

Mari kita perhatikan gerakan yang diperbolehkan: dari sebuah huruf, kita bisa pindah ke huruf di baris berikutnya yang berada tepat di bawahnya atau satu posisi ke kanan di baris berikutnya.

p e r m
 e r m u
  r m u t
    m u t a
      u t a s
        t a s i

Perhitungannya adalah sebagai berikut:

Baris 1:
1 1 1 1

Baris 2:
1 (dari p)
1+1=2 (dari e,e)
1+1=2 (dari r,r)
1 (dari m)

Baris 3:
1 (dari e) + 2 (dari r) = 3
2 (dari r) + 2 (dari m) = 4
2 (dari m) + 1 (dari u) = 3
1 (dari u)

Baris 4:
3 (dari r) + 4 (dari m) = 7
4 (dari m) + 3 (dari u) = 7
3 (dari u) + 1 (dari t) = 4
1 (dari t)

Baris 5:
7 (dari m) + 7 (dari u) = 14
7 (dari u) + 4 (dari t) = 11
4 (dari t) + 1 (dari a) = 5
1 (dari a)

Baris 6:
14 (dari u) + 11 (dari t) = 25
11 (dari t) + 5 (dari a) = 16
5 (dari a) + 1 (dari s) = 6
1 (dari s)

Jika soal ini menanyakan berapa cara untuk membaca kata "permutation" dengan mengikuti pola ini, maka jumlah cara akan bergantung pada bagaimana kata tersebut dibentuk dari susunan ini.

Asumsi: Kita mulai dari 'p' di kiri atas, dan untuk membentuk "permutation", kita harus bergerak ke huruf yang tepat di baris berikutnya. Gerakan yang mungkin adalah ke huruf di bawahnya atau ke huruf di bawahnya yang sedikit bergeser ke kanan.

Mari kita perjelas aturan gerakan: Dari sebuah huruf, Anda bisa pindah ke huruf di baris berikutnya yang berada di kolom yang sama atau di kolom berikutnya.

Contoh: Dari 'p' di (1,1) bisa ke 'e' di (2,1) atau 'r' di (2,2).

Kita perlu mencari jumlah jalur dari 'p' di (1,1) ke huruf terakhir dari "permutation" yang ada di susunan ini. Namun, susunannya tidak langsung membentuk kata "permutation" secara vertikal.

Jika kita menginterpretasikan soal sebagai mencari berapa banyak cara membaca kata "permutation" dengan mengikuti pola Pascal triangle di mana dari satu huruf Anda bisa pergi ke huruf di bawahnya atau huruf di bawahnya yang bergeser satu ke kanan:

p e r m
e r m u
r m u t
m u t a
u t a s
t a s i

Kita perlu mencari jalur dari 'p' ke setiap huruf di baris terakhir.

Mari kita hitung jumlah cara untuk mencapai setiap huruf:

Baris 1:
1 1 1 1

Baris 2:
1 (dari p)
1+1 = 2 (dari e, e)
1+1 = 2 (dari r, r)
1 (dari m)

Baris 3:
1 (dari e) + 2 (dari r) = 3
2 (dari r) + 2 (dari m) = 4
2 (dari m) + 1 (dari u) = 3
1 (dari u)

Baris 4:
3 (dari r) + 4 (dari m) = 7
4 (dari m) + 3 (dari u) = 7
3 (dari u) + 1 (dari t) = 4
1 (dari t)

Baris 5:
7 (dari m) + 7 (dari u) = 14
7 (dari u) + 4 (dari t) = 11
4 (dari t) + 1 (dari a) = 5
1 (dari a)

Baris 6:
14 (dari u) + 11 (dari t) = 25
11 (dari t) + 5 (dari a) = 16
5 (dari a) + 1 (dari s) = 6
1 (dari s)

Jumlah cara membaca perkataan "permutation" adalah jumlah total cara untuk mencapai semua huruf yang membentuk "permutation".

Jika kata "permutation" di sini merujuk pada semua kemungkinan jalur yang berakhir di baris terakhir, maka kita perlu menjumlahkan semua nilai di baris terakhir: 25 + 16 + 6 + 1 = 48.

Namun, jika maksud soal adalah berapa cara membaca "permutation" dengan mengikuti pola huruf yang ada:
p -> e -> r -> m -> u -> t -> a -> s -> i
Ini adalah satu jalur spesifik. Tapi soal menanyakan 'berapa cara', yang menyiratkan ada lebih dari satu.

Asumsi paling umum untuk soal semacam ini adalah menghitung jumlah jalur dari sel awal ke sel akhir, dengan gerakan yang dibatasi.

Dalam susunan ini, kita harus melihat bagaimana huruf-huruf "permutation" dapat dibentuk.

p
e e
r r r
m m m m
u u u u u
t t t t t t

Jika kita menganggap bahwa kita harus membentuk kata "permutation" dengan memilih huruf dari setiap baris, dengan aturan gerakan tertentu.

Aturan gerakan yang paling umum untuk soal seperti ini adalah dari sel (i, j), kita bisa pindah ke (i+1, j) atau (i+1, j+1).

p(1,1)
e(2,1), r(2,2)
r(3,1), m(3,2), u(3,3)
m(4,1), u(4,2), t(4,3), a(4,4)
u(5,1), t(5,2), a(5,3), s(5,4)
t(6,1), a(6,2), s(6,3), i(6,4)

Kita perlu mencari jumlah jalur dari p(1,1) ke semua sel di baris terakhir.

Mari kita hitung jumlah cara untuk mencapai setiap sel:

Baris 1:
1 1 1 1

Baris 2:
1 (dari p)
1+1=2 (dari e, e)
1+1=2 (dari r, r)
1 (dari m)

Baris 3:
1 (dari e) + 2 (dari r) = 3
2 (dari r) + 2 (dari m) = 4
2 (dari m) + 1 (dari u) = 3
1 (dari u)

Baris 4:
3 (dari r) + 4 (dari m) = 7
4 (dari m) + 3 (dari u) = 7
3 (dari u) + 1 (dari t) = 4
1 (dari t)

Baris 5:
7 (dari m) + 7 (dari u) = 14
7 (dari u) + 4 (dari t) = 11
4 (dari t) + 1 (dari a) = 5
1 (dari a)

Baris 6:
14 (dari u) + 11 (dari t) = 25
11 (dari t) + 5 (dari a) = 16
5 (dari a) + 1 (dari s) = 6
1 (dari s)

Jika "membaca perkataan permutasi" berarti kita harus membentuk kata "permutation" dengan mengikuti pola ini, maka kita perlu melihat huruf-huruf yang relevan.

Contoh: 'p' ke 'e', lalu 'e' ke 'r', dst.

Jika kita mengasumsikan bahwa kita perlu mencari jumlah total jalur dari sel awal ('p') ke semua sel di baris terakhir, maka jumlahnya adalah 25 + 16 + 6 + 1 = 48.

Namun, jika soal ini merujuk pada soal klasik seperti "berapa cara membaca kata SECRET" dalam susunan segitiga, maka perhitungannya sama.

Dalam konteks soal ini, kita mencari jumlah cara untuk membentuk kata "permutation" dengan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. Ini biasanya berarti kita harus memilih satu huruf dari setiap baris.

Mari kita lihat susunan hurufnya lagi:
p e r m
e r m u
r m u t
m u t a
u t a s
t a s i

Kita perlu menemukan jalur yang membentuk "permutation".

Jika kita mengasumsikan aturan gerakan adalah dari sel (baris, kolom), kita bisa pindah ke sel di baris berikutnya di kolom yang sama atau kolom berikutnya:
(i, j) -> (i+1, j) atau (i+1, j+1)

Kita mulai dari 'p' di (1,1).
Kita ingin membentuk "permutation".

Untuk huruf kedua 'e', kita bisa mengambil 'e' di (2,1) atau 'e' di (2,2) jika hurufnya sama.

Dalam susunan ini, ada beberapa huruf 'e', 'r', 'm', 'u', 't', 'a', 's', 'i' di berbagai posisi.

Jika pertanyaannya adalah berapa cara membaca kata yang tersusun dengan aturan gerakan seperti pada segitiga Pascal, maka perhitungannya adalah sebagai berikut:

Baris 1: p(1) e(1) r(1) m(1)
Baris 2: e(1) r(2) m(2) u(1)
Baris 3: r(3) m(4) u(3) t(1)
Baris 4: m(7) u(7) t(4) a(1)
Baris 5: u(14) t(11) a(5) s(1)
Baris 6: t(25) a(16) s(6) i(1)

Total cara membaca adalah jumlah dari semua jalur yang bisa berakhir di baris terakhir. Dalam kasus ini, jumlah total cara adalah 25 + 16 + 6 + 1 = 48.

Jawaban ringkas: Ada 48 cara.