Buktikan bahwa perkalian tiga bilangan asli berurutan habis

Perkalian tiga bilangan asli berurutan selalu habis dibagi tiga karena salah satu dari tiga bilangan tersebut pasti habis dibagi tiga.

Pembahasan

Perkalian tiga bilangan asli berurutan selalu habis dibagi tiga. Bukti:
Misalkan ketiga bilangan asli berurutan tersebut adalah n, n+1, dan n+2.
Kita akan mempertimbangkan tiga kasus berdasarkan sisa pembagian n oleh 3:
Kasus 1: n habis dibagi 3 (n = 3k).
Jika n = 3k, maka perkaliannya adalah (3k)(3k+1)(3k+2). Jelas bahwa hasil ini habis dibagi 3 karena salah satu faktornya adalah 3k.
Kasus 2: n dibagi 3 bersisa 1 (n = 3k+1).
Jika n = 3k+1, maka n+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1). Jadi, n+2 habis dibagi 3. Perkaliannya adalah (3k+1)(3k+2)(3(k+1)). Hasil ini habis dibagi 3 karena salah satu faktornya adalah 3(k+1).
Kasus 3: n dibagi 3 bersisa 2 (n = 3k+2).
Jika n = 3k+2, maka n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1). Jadi, n+1 habis dibagi 3. Perkaliannya adalah (3k+2)(3(k+1))(3k+4). Hasil ini habis dibagi 3 karena salah satu faktornya adalah 3(k+1).
Dalam ketiga kasus tersebut, terbukti bahwa perkalian tiga bilangan asli berurutan selalu habis dibagi tiga.