Buktikan bahwa pernyataan di bawah bernilai benar untuk n

Pernyataan yang diberikan kemungkinan besar merujuk pada rumus jumlah kuadrat bilangan asli ∑ i^2 = n(n+1)(2n+1)/6, yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Deret spesifik yang tertera dalam soal perlu diklarifikasi polanya.

Pembahasan

Pernyataan yang diberikan adalah: (12)^2+(102)^2+(112)^2+(1002)^2+(1012)^2+(1102)^2 + . . .+n^2 = n/6 (n+1)(2n+1).

Pertama, mari kita klarifikasi pernyataan yang diberikan. Sepertinya ada kekeliruan dalam menyalin soal, karena deret yang diberikan tidak jelas polanya dan tidak sesuai dengan rumus jumlah kuadrat (n/6)(n+1)(2n+1) yang biasanya berlaku untuk jumlah kuadrat bilangan asli berurutan (1^2 + 2^2 + ... + n^2).

Jika yang dimaksud adalah membuktikan rumus jumlah kuadrat bilangan asli, yaitu:
∑_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Bukti untuk rumus ini biasanya dilakukan dengan metode induksi matematika:
1. Basis Induksi: Untuk n=1, sisi kiri = 1^2 = 1. Sisi kanan = 1(1+1)(2*1+1)/6 = 1(2)(3)/6 = 6/6 = 1. Jadi, pernyataan benar untuk n=1.

2. Langkah Induksi: Asumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu ∑_{i=1}^{k} i^2 = k(k+1)(2k+1)/6.
   Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n=k+1, yaitu ∑_{i=1}^{k+1} i^2 = (k+1)(k+2)(2(k+1)+1)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6.

   ∑_{i=1}^{k+1} i^2 = (∑_{i=1}^{k} i^2) + (k+1)^2
                 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2  (berdasarkan asumsi induksi)
                 = (k+1) [ k(2k+1)/6 + (k+1) ]
                 = (k+1) [ (2k^2+k)/6 + 6(k+1)/6 ]
                 = (k+1) [ (2k^2+k + 6k+6) / 6 ]
                 = (k+1) [ (2k^2+7k+6) / 6 ]
                 = (k+1) [ (2k+3)(k+2) / 6 ]
                 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

Ini sesuai dengan rumus yang ingin dibuktikan untuk n=k+1.

Karena basis induksi benar dan langkah induksi benar, maka pernyataan ∑_{i=1}^{n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/6 benar untuk semua bilangan asli n.

Namun, jika soal asli memang merujuk pada deret spesifik yang diberikan, maka perlu klarifikasi lebih lanjut mengenai pola deret tersebut karena tidak tampak seperti deret bilangan asli kuadrat biasa.