Buktikan masing-masing notasi sigma berikut. sigma k=1 n

Terbukti benar menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan notasi sigma $\sum_{k=1}^{n} (5k -1)= \frac{n(5n+3)}{2}$, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

**Langkah 1: Basis Induksi**
Kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Ruas kiri: $\sum_{k=1}^{1} (5k -1) = 5(1) - 1 = 4$.
Ruas kanan: $\frac{1(5(1)+3)}{2} = \frac{1(5+3)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

**Langkah 2: Langkah Induksi**
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = m, yaitu $\sum_{k=1}^{m} (5k -1)= \frac{m(5m+3)}{2}$.

Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = m + 1, yaitu $\sum_{k=1}^{m+1} (5k -1)= \frac{(m+1)(5(m+1)+3)}{2}$.

Ruas kiri:
$\sum_{k=1}^{m+1} (5k -1) = \sum_{k=1}^{m} (5k -1) + (5(m+1) - 1)$
Berdasarkan asumsi induksi, kita substitusikan $\sum_{k=1}^{m} (5k -1)$: 
$= \frac{m(5m+3)}{2} + (5m + 5 - 1)$
$= \frac{5m^2 + 3m}{2} + (5m + 4)$
Untuk menjumlahkannya, samakan penyebutnya:
$= \frac{5m^2 + 3m}{2} + \frac{2(5m + 4)}{2}$
$= \frac{5m^2 + 3m + 10m + 8}{2}$
$= \frac{5m^2 + 13m + 8}{2}$

Sekarang, kita faktorkan penyebutnya:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $5 \times 8 = 40$ dan jika dijumlahkan menghasilkan 13. Bilangan tersebut adalah 5 dan 8.
$= \frac{5m^2 + 5m + 8m + 8}{2}$
$= \frac{5m(m+1) + 8(m+1)}{2}$
$= \frac{(m+1)(5m+8)}{2}$

Sekarang, kita ubah bentuk ruas kanan yang ingin dibuktikan:
Ruas kanan yang dituju: $\frac{(m+1)(5(m+1)+3)}{2}$
$= \frac{(m+1)(5m+5+3)}{2}$
$= \frac{(m+1)(5m+8)}{2}$

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan yang dituju, maka pernyataan tersebut benar untuk n = m + 1.

**Kesimpulan:**
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa $\sum_{k=1}^{n} (5k -1)= \frac{n(5n+3)}{2}$ untuk semua bilangan asli n.