Buktikan setiap identitas berikut.sec^2 a+cotan^2 a=tan^2

Identitas sec^2 a + cotan^2 a = tan^2 a + cosec^2 a tidak benar. Setelah diubah ke bentuk sinus dan kosinus, pembilang kedua sisi tidak sama.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas sec^2 a + cotan^2 a = tan^2 a + cosec^2 a, kita dapat mengubah salah satu sisi persamaan agar sama dengan sisi lainnya. Mari kita ubah sisi kanan:

tan^2 a + cosec^2 a = (sin^2 a / cos^2 a) + (1 / sin^2 a)

Samakan penyebutnya:
= (sin^4 a + cos^2 a) / (cos^2 a sin^2 a)

Kita tahu bahwa sin^2 a + cos^2 a = 1, jadi cos^2 a = 1 - sin^2 a.
= (sin^4 a + 1 - sin^2 a) / (cos^2 a sin^2 a)

Sekarang mari kita ubah sisi kiri:

sec^2 a + cotan^2 a = (1 / cos^2 a) + (cos^2 a / sin^2 a)

Samakan penyebutnya:
= (sin^2 a + cos^4 a) / (cos^2 a sin^2 a)

Kedua sisi tidak sama. Mari kita coba cara lain, yaitu mengubah kedua sisi secara terpisah.

Sisi kanan:
tan^2 a + cosec^2 a = sin^2 a / cos^2 a + 1 / sin^2 a = (sin^4 a + cos^2 a) / (sin^2 a cos^2 a)

Sisi kiri:
sec^2 a + cotan^2 a = 1 / cos^2 a + cos^2 a / sin^2 a = (sin^2 a + cos^4 a) / (sin^2 a cos^2 a)

Masih belum sama. Mari kita periksa kembali soalnya, mungkin ada kesalahan penulisan. Jika identitas yang dimaksud adalah sec^2 a - cotan^2 a = tan^2 a, maka itu benar karena sec^2 a = 1 + tan^2 a dan cotan^2 a = cosec^2 a - 1. Jadi, sec^2 a - cotan^2 a = (1 + tan^2 a) - (cosec^2 a - 1) = tan^2 a - cosec^2 a + 2. Ini juga tidak benar.

Mari kita asumsikan identitas yang benar adalah sec^2 a = tan^2 a + 1 dan cosec^2 a = cotan^2 a + 1.

Mengubah sisi kanan:
tan^2 a + cosec^2 a = tan^2 a + (cotan^2 a + 1)

Ini tidak sama dengan sisi kiri sec^2 a + cotan^2 a.

Kemungkinan lain adalah identitas yang dimaksud adalah sec^2 a + cotan^2 a = tan^2 a + 1 + cotan^2 a. Jika demikian, maka sec^2 a = tan^2 a + 1, yang merupakan identitas dasar trigonometri.

Asumsikan soalnya adalah buktikan bahwa sec^2 a = tan^2 a + 1. Bukti:
sec^2 a = 1/cos^2 a
tan^2 a + 1 = (sin^2 a / cos^2 a) + 1 = (sin^2 a + cos^2 a) / cos^2 a = 1/cos^2 a
Karena kedua sisi sama, maka sec^2 a = tan^2 a + 1 terbukti.

Namun, berdasarkan soal yang diberikan, sec^2 a + cotan^2 a = tan^2 a + cosec^2 a, mari kita coba ubah kedua sisi menjadi bentuk sinus dan kosinus:
Sisi Kiri: sec^2 a + cotan^2 a = 1/cos^2 a + cos^2 a/sin^2 a = (sin^2 a + cos^4 a) / (sin^2 a cos^2 a)
Sisi Kanan: tan^2 a + cosec^2 a = sin^2 a/cos^2 a + 1/sin^2 a = (sin^4 a + cos^2 a) / (sin^2 a cos^2 a)
Karena pembilang kedua sisi tidak sama (sin^2 a + cos^4 a != sin^4 a + cos^2 a), maka identitas tersebut tidak benar.