Carilah setiap limit berikut ini. lim x mendekati pi (cos x

-3/(2*pi)

Pembahasan

Kita akan mencari limit dari fungsi f(x) = (cos x + cos 2x) / (x sin^2 x) saat x mendekati pi.
Substitusikan x = pi ke dalam fungsi:
Pembilang: cos(pi) + cos(2*pi) = -1 + 1 = 0
Penyebut: pi * sin^2(pi) = pi * (0)^2 = 0
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan Aturan L'Hopital.

Turunan pembilang: d/dx (cos x + cos 2x) = -sin x - 2 sin 2x
Turunan penyebut: d/dx (x sin^2 x) = 1 * sin^2 x + x * 2 sin x cos x = sin^2 x + 2x sin x cos x

Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan:
lim x->pi (-sin x - 2 sin 2x) / (sin^2 x + 2x sin x cos x)

Substitusikan x = pi:
Pembilang: -sin(pi) - 2 sin(2*pi) = -0 - 2 * 0 = 0
Penyebut: sin^2(pi) + 2*pi*sin(pi)*cos(pi) = 0^2 + 2*pi*0*(-1) = 0

Karena masih mendapatkan bentuk 0/0, kita gunakan Aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang kedua: d/dx (-sin x - 2 sin 2x) = -cos x - 4 cos 2x
Turunan penyebut kedua: d/dx (sin^2 x + 2x sin x cos x)
Ingat bahwa 2 sin x cos x = sin 2x, jadi penyebutnya adalah sin^2 x + x sin 2x.
d/dx (sin^2 x) = 2 sin x cos x = sin 2x
d/dx (x sin 2x) = 1*sin 2x + x*(2 cos 2x) = sin 2x + 2x cos 2x
Jadi, turunan penyebut kedua adalah sin 2x + sin 2x + 2x cos 2x = 2 sin 2x + 2x cos 2x.

Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan kedua:
lim x->pi (-cos x - 4 cos 2x) / (2 sin 2x + 2x cos 2x)

Substitusikan x = pi:
Pembilang: -cos(pi) - 4 cos(2*pi) = -(-1) - 4 * 1 = 1 - 4 = -3
Penyebut: 2 sin(2*pi) + 2*pi*cos(2*pi) = 2 * 0 + 2*pi*1 = 2*pi

Hasil limitnya adalah -3 / (2*pi).