Carilah solusi dari sistem kongruensi linear berikut:

Solusi sistem kongruensi adalah x ≡ 59 (mod 60).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem kongruensi linear ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau Teorema Sisa Tiongkok.

Menggunakan Metode Substitusi:
1. Dari kongruensi pertama, x ≡ 3 (mod 4), kita bisa menulis x = 4k + 3, di mana k adalah bilangan bulat.
2. Substitusikan ke kongruensi kedua: 4k + 3 ≡ 2 (mod 3).
   Sederhanakan: k + 0 ≡ 2 (mod 3) => k ≡ 2 (mod 3).
   Jadi, k dapat ditulis sebagai k = 3j + 2, di mana j adalah bilangan bulat.
3. Substitusikan kembali nilai k ke persamaan x: x = 4(3j + 2) + 3 = 12j + 8 + 3 = 12j + 11.
4. Substitusikan persamaan x ke kongruensi ketiga: 12j + 11 ≡ 4 (mod 5).
   Sederhanakan: 2j + 1 ≡ 4 (mod 5) => 2j ≡ 3 (mod 5).
   Untuk mencari nilai j, kita perlu mencari invers dari 2 modulo 5. Karena 2 * 3 = 6 ≡ 1 (mod 5), maka invers dari 2 adalah 3.
   Kalikan kedua sisi dengan 3: 3 * (2j) ≡ 3 * 3 (mod 5) => 6j ≡ 9 (mod 5) => j ≡ 4 (mod 5).
   Jadi, j dapat ditulis sebagai j = 5m + 4, di mana m adalah bilangan bulat.
5. Substitusikan kembali nilai j ke persamaan x: x = 12(5m + 4) + 11 = 60m + 48 + 11 = 60m + 59.

Jadi, solusi dari sistem kongruensi tersebut adalah x ≡ 59 (mod 60).

Verifikasi:
59 ≡ 3 (mod 4) (karena 59 = 14*4 + 3)
59 ≡ 2 (mod 3) (karena 59 = 19*3 + 2)
59 ≡ 4 (mod 5) (karena 59 = 11*5 + 4)