(cotan x-cos x)/cotan x=cos^2 x/(1+sin x)

Identitas terbukti benar dengan mengubah kedua sisi menjadi 1 - sin x.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \((\cot x - \cos x) / \cot x = \cos^2 x / (1 + \sin x)\), kita bisa memulai dari salah satu sisi dan mengubahnya hingga sama dengan sisi lainnya.

Mari kita ubah sisi kiri:

Sisi Kiri = \((\cot x - \cos x) / \cot x\)

Kita tahu bahwa \(\cot x = \cos x / \sin x\). Substitusikan ini:

Sisi Kiri = \(\((\cos x / \sin x) - \cos x\) / (\cos x / \sin x)\)

Untuk menyederhanakan pembilang, samakan penyebutnya:

Sisi Kiri = \(\((\cos x - \cos x \sin x) / \sin x\) / (\cos x / \sin x)\)

Sekarang, bagi kedua pecahan dengan mengalikan dengan kebalikan dari penyebutnya:

Sisi Kiri = \(\((\cos x - \cos x \sin x) / \sin x\) * (\sin x / \cos x)\)

Batalkan \(\sin x\):

Sisi Kiri = \((\cos x - \cos x \sin x) / \cos x\)

Keluarkan \(\cos x\) dari pembilang:

Sisi Kiri = \(\cos x (1 - \sin x) / \cos x\)

Batalkan \(\cos x\):

Sisi Kiri = \(1 - \sin x\)

Sekarang, mari kita ubah sisi kanan untuk melihat apakah sama:

Sisi Kanan = \(\cos^2 x / (1 + \sin x)\)

Kita tahu identitas \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Substitusikan ini:

Sisi Kanan = \((1 - \sin^2 x) / (1 + \sin x)\)

Perhatikan bahwa \(1 - \sin^2 x\) adalah selisih dua kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi \((1 - \sin x)(1 + \sin x)\):

Sisi Kanan = \(((1 - \sin x)(1 + \sin x)) / (1 + \sin x)\)

Batalkan \((1 + \sin x)\):

Sisi Kanan = \(1 - \sin x\)

Karena Sisi Kiri = \(1 - \sin x\) dan Sisi Kanan = \(1 - \sin x\), maka identitas tersebut terbukti benar.