Dalam segitiga ABC , tunjukkan kebenaran setiap

Identitas terbukti benar menggunakan manipulasi aljabar dan identitas trigonometri.

Pembahasan

Untuk menunjukkan kebenaran identitas cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) dalam segitiga ABC, kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri.

Pertama, kita tahu bahwa dalam segitiga ABC, jumlah sudutnya adalah 180 derajat (A + B + C = 180°). Ini berarti C = 180° - (A + B).

Menggunakan identitas jumlah kosinus: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2).
Karena A + B = 180° - C, maka (A+B)/2 = 90° - C/2.  Jadi, cos((A+B)/2) = cos(90° - C/2) = sin(C/2).
Oleh karena itu, cos A + cos B = 2 sin(C/2) cos((A-B)/2).

Selanjutnya, cos C = cos(180° - (A+B)) = -cos(A+B).
Menggunakan identitas cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B, kita dapatkan:
cos C = -(cos A cos B - sin A sin B) = sin A sin B - cos A cos B.

Juga, kita bisa menulis cos C sebagai cos(2 * C/2) = 1 - 2sin^2(C/2).

Sekarang mari kita fokus pada sisi kanan identitas: 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2).

Kita bisa menggunakan identitas: 2sin(A/2)sin(B/2) = cos((A-B)/2) - cos((A+B)/2).
Dan kita sudah tahu bahwa cos((A+B)/2) = sin(C/2).
Jadi, 2sin(A/2)sin(B/2) = cos((A-B)/2) - sin(C/2).

Kalikan dengan 2sin(C/2):
4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = 2sin(C/2)cos((A-B)/2) - 2sin^2(C/2).

Sekarang, kita kembali ke sisi kiri identitas:
cos A + cos B + cos C = 2 sin(C/2) cos((A-B)/2) + cos C.

Substitusikan cos C = 1 - 2sin^2(C/2):
cos A + cos B + cos C = 2 sin(C/2) cos((A-B)/2) + 1 - 2sin^2(C/2).

Perhatikan bahwa 2 sin(C/2) cos((A-B)/2) adalah bagian dari sisi kanan. Mari kita manipulasi sisi kanan lebih lanjut:
1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = 1 + (2sin(C/2)cos((A-B)/2) - 2sin^2(C/2)).

Jika kita substitusikan kembali ke sisi kiri:
cos A + cos B + cos C = cos A + cos B + (1 - 2sin^2(C/2)).

Mari kita coba pendekatan lain. Kita tahu:
cos A + cos B + cos C - 1 = 2sin(C/2)cos((A-B)/2) + (1 - 2sin^2(C/2)) - 1
= 2sin(C/2)cos((A-B)/2) - 2sin^2(C/2)
= 2sin(C/2) [cos((A-B)/2) - sin(C/2)]
= 2sin(C/2) [cos((A-B)/2) - cos((A+B)/2)]
= 2sin(C/2) [-2 sin((A-B)/4 + (A+B)/4) sin((A-B)/4 - (A+B)/4)]
= 2sin(C/2) [-2 sin(A/2) sin(-B/2)]
= 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

Sehingga, cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) terbukti benar.