Di dalam perpustakaan Ocha dan Monic bersama-sama dapat

Ocha membutuhkan $\frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ menit, dan Monic membutuhkan $\frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ menit.

Pembahasan

Misalkan waktu yang dibutuhkan Ocha untuk memasukkan buku ke dalam tas adalah $x$ menit, dan waktu yang dibutuhkan Monic adalah $y$ menit.

Diketahui bahwa Ocha dan Monic bersama-sama dapat memasukkan buku ke dalam tas selama 1 menit. Ini berarti dalam 1 menit, Ocha dapat menyelesaikan $\frac{1}{x}$ bagian pekerjaan, dan Monic dapat menyelesaikan $\frac{1}{y}$ bagian pekerjaan. Jika mereka bekerja bersama, maka:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{1}$  (Persamaan 1)

Diketahui juga bahwa Monic dapat memasukkan buku ke dalam tas lebih cepat $\frac{1}{2}$ menit dari Ocha. Ini berarti waktu yang dibutuhkan Monic lebih sedikit $\frac{1}{2}$ menit dari Ocha:

$y = x - \frac{1}{2}$  (Persamaan 2)

Sekarang kita substitusikan Persamaan 2 ke dalam Persamaan 1:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - \frac{1}{2}} = 1$

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita samakan penyebutnya:

$\frac{x - \frac{1}{2} + x}{x(x - \frac{1}{2})} = 1$

$\frac{2x - \frac{1}{2}}{x^2 - \frac{1}{2}x} = 1$

$2x - \frac{1}{2} = x^2 - \frac{1}{2}x$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:

$x^2 - \frac{1}{2}x - 2x + \frac{1}{2} = 0$

$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{1}{2} = 0$

Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:

$2x^2 - 5x + 1 = 0$

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai $x$:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Dalam kasus ini, $a=2$, $b=-5$, dan $c=1$.

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Jadi, ada dua kemungkinan nilai untuk $x$ (waktu yang dibutuhkan Ocha):
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ menit
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$ menit

Sekarang kita cari nilai $y$ (waktu yang dibutuhkan Monic) menggunakan $y = x - \frac{1}{2}$:

Jika $x = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$, maka:
$y = \frac{5 + \sqrt{17}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5 + \sqrt{17} - 2}{4} = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ menit

Jika $x = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$, maka:
$y = \frac{5 - \sqrt{17}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5 - \sqrt{17} - 2}{4} = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ menit

Karena waktu tidak bisa negatif, kita perlu memeriksa apakah kedua solusi valid. Nilai $\sqrt{17}$ kira-kira 4.12.

Untuk solusi pertama:
$x_1 = \frac{5 + 4.12}{4} \approx \frac{9.12}{4} \approx 2.28$ menit
$y_1 = \frac{3 + 4.12}{4} \approx \frac{7.12}{4} \approx 1.78$ menit

Kedua waktu ini positif dan masuk akal.

Untuk solusi kedua:
$x_2 = \frac{5 - 4.12}{4} \approx \frac{0.88}{4} \approx 0.22$ menit
$y_2 = \frac{3 - 4.12}{4} \approx \frac{-1.12}{4} \approx -0.28$ menit

Solusi kedua menghasilkan waktu negatif untuk Monic, yang tidak mungkin. Oleh karena itu, kita gunakan solusi pertama.

Jadi, waktu yang dibutuhkan Ocha adalah $\frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ menit, dan waktu yang dibutuhkan Monic adalah $\frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ menit.