Diberikan f(x)=x-2, g(x)=x^2+2x-3 ; x>0 , dan

Nilai h(5) adalah -1 + sqrt(37).

Pembahasan

Kita diberikan:
f(x) = x - 2
g(x) = x² + 2x - 3
(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = x² + 6

Langkah pertama adalah menghitung f(g(x)):

f(g(x)) = f(x² + 2x - 3)
Karena f(y) = y - 2, maka:
f(g(x)) = (x² + 2x - 3) - 2
f(g(x)) = x² + 2x - 5

Selanjutnya, kita tahu bahwa (f o g o h)(x) = f(g(h(x))). Kita bisa substitusikan h(x) ke dalam f(g(x)):

f(g(h(x))) = (h(x))² + 2(h(x)) - 5

Kita juga diberikan bahwa (f o g o h)(x) = x² + 6. Maka, kita samakan kedua persamaan tersebut:
(h(x))² + 2(h(x)) - 5 = x² + 6
(h(x))² + 2(h(x)) - 5 - (x² + 6) = 0
(h(x))² + 2(h(x)) - x² - 11 = 0

Ini terlihat rumit. Mari kita coba pendekatan lain dengan menghitung g(h(x)) terlebih dahulu, lalu memasukkannya ke f(x).

1. Hitung g(h(x)):
   g(h(x)) = (h(x))² + 2(h(x)) - 3

2. Hitung f(g(h(x))):
   f(g(h(x))) = g(h(x)) - 2
   f(g(h(x))) = [(h(x))² + 2(h(x)) - 3] - 2
   f(g(h(x))) = (h(x))² + 2(h(x)) - 5

Kita tahu f(g(h(x))) = x² + 6. Jadi:
(h(x))² + 2(h(x)) - 5 = x² + 6

Jika kita asumsikan bahwa h(x) adalah sebuah fungsi linear, misalnya h(x) = ax + b. Maka:
(ax + b)² + 2(ax + b) - 5 = x² + 6
a²x² + 2abx + b² + 2ax + 2b - 5 = x² + 6
a²x² + (2ab + 2a)x + (b² + 2b - 5) = x² + 6

Dengan menyamakan koefisien:
Koefisien x²: a² = 1 => a = 1 atau a = -1
Koefisien x: 2ab + 2a = 0
Konstanta: b² + 2b - 5 = 6

Kasus 1: a = 1
2(1)b + 2(1) = 0 => 2b + 2 = 0 => 2b = -2 => b = -1
Cek konstanta: (-1)² + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6. Ini tidak sama dengan 6. Jadi, h(x) bukan 1x - 1.

Kasus 2: a = -1
2(-1)b + 2(-1) = 0 => -2b - 2 = 0 => -2b = 2 => b = -1
Cek konstanta: (-1)² + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6. Ini juga tidak sama dengan 6.

Mari kita tinjau ulang persamaan:
(h(x))² + 2(h(x)) - 5 = x² + 6

Perhatikan bahwa jika kita mencoba h(x) = x, maka:
x² + 2x - 5 = x² + 6
2x - 5 = 6
2x = 11
x = 11/2. Ini tidak berlaku untuk semua x.

Jika kita coba h(x) = x + c:
(x+c)² + 2(x+c) - 5 = x² + 6
x² + 2cx + c² + 2x + 2c - 5 = x² + 6
x² + (2c+2)x + (c² + 2c - 5) = x² + 6

Samakan koefisien x:
2c + 2 = 0 => 2c = -2 => c = -1.
Jika c = -1, maka h(x) = x - 1.

Sekarang cek konstanta:
(c² + 2c - 5) = 6
(-1)² + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6.
Ini tidak sama dengan 6.

Mari kita coba h(x) = x + k.
(h(x))^2 + 2(h(x)) - 5 = x^2 + 6
Ini berarti h(x) haruslah sesuatu yang ketika dikuadratkan dan ditambah 2 kali dirinya sendiri lalu dikurangi 5 menghasilkan x^2 + 6.

Jika kita perhatikan bentuk x^2 + 6, ini mirip dengan kuadrat suatu ekspresi.
Misalkan h(x) = x + a.
(x+a)^2 + 2(x+a) - 5 = x^2 + 2ax + a^2 + 2x + 2a - 5 = x^2 + (2a+2)x + (a^2+2a-5).
Kita ingin ini sama dengan x^2 + 6.

Samakan koefisien x: 2a+2 = 0 => a = -1.
Jika a = -1, maka h(x) = x - 1.

Substitusikan h(x) = x - 1 ke dalam persamaan:
(x-1)² + 2(x-1) - 5
= (x² - 2x + 1) + (2x - 2) - 5
= x² - 2x + 1 + 2x - 2 - 5
= x² - 6

Ini tidak sama dengan x² + 6.

Mungkin ada kesalahan dalam asumsi bentuk h(x) atau dalam soalnya.

Mari kita coba pendekatan lain. Kita tahu f(y) = y - 2. Maka y = f⁻¹(x) + 2. f⁻¹(x) = x + 2.
Kita punya f(g(h(x))) = x² + 6.
Artinya, g(h(x)) adalah input untuk f, yang menghasilkan x² + 6.
Jadi, g(h(x)) = f⁻¹(x² + 6) = (x² + 6) + 2 = x² + 8.

Sekarang kita tahu g(x) = x² + 2x - 3. Maka:
g(h(x)) = (h(x))² + 2(h(x)) - 3.

Kita samakan:
(h(x))² + 2(h(x)) - 3 = x² + 8
(h(x))² + 2(h(x)) - 11 = x²

Jika kita mencoba h(x) = x, maka x² + 2x - 11 = x², yang berarti 2x = 11, x = 11/2.

Jika kita coba h(x) = x + c:
(x+c)² + 2(x+c) - 11 = x²
x² + 2cx + c² + 2x + 2c - 11 = x²
(2c+2)x + (c² + 2c - 11) = 0

Agar persamaan ini bernilai nol untuk semua x, maka koefisien x dan konstanta harus nol.
2c + 2 = 0 => c = -1.
Cek konstanta: (-1)² + 2(-1) - 11 = 1 - 2 - 11 = -12. Ini tidak nol.

Mungkin h(x) bukan fungsi linear. 

Mari kita periksa kembali soalnya. Diberikan (fohog)(x)=x^2+6. Kita cari h(5).

Kita perlu g(h(5)).
Kita perlu f(g(h(5))).

Kita tahu f(y) = y - 2. Jadi f(g(h(5))) = g(h(5)) - 2.
Kita punya f(g(h(5))) = 5² + 6 = 25 + 6 = 31.
Jadi, g(h(5)) - 2 = 31.
g(h(5)) = 33.

Sekarang kita tahu g(x) = x² + 2x - 3. Maka:
g(h(5)) = (h(5))² + 2(h(5)) - 3.

Kita samakan:
(h(5))² + 2(h(5)) - 3 = 33
(h(5))² + 2(h(5)) - 36 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam variabel h(5). Misalkan y = h(5).
y² + 2y - 36 = 0.
Kita gunakan rumus kuadrat: y = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
y = [-2 ± sqrt(2² - 4(1)(-36))] / 2(1)
y = [-2 ± sqrt(4 + 144)] / 2
y = [-2 ± sqrt(148)] / 2
y = [-2 ± 2*sqrt(37)] / 2
y = -1 ± sqrt(37).

Karena diberikan g(x) dengan syarat x > 0, ini mungkin berlaku juga untuk input h(x) jika h(x) = x. Namun, syarat x > 0 pada g(x) mungkin tidak langsung mempengaruhi nilai h(5) kecuali jika h(x) bergantung pada x.

Jika kita mengasumsikan h(x) = x, maka h(5) = 5.
Mari kita cek apakah h(x)=x memenuhi:
(f o g o h)(x) = f(g(x)) = f(x² + 2x - 3) = (x² + 2x - 3) - 2 = x² + 2x - 5.
Ini tidak sama dengan x² + 6.

Mari kita coba asumsi lain. Mungkin h(x) adalah konstanta. h(x) = c.
(f o g o c)(x) = f(g(c)) = f(c² + 2c - 3) = (c² + 2c - 3) - 2 = c² + 2c - 5.
Kita ingin c² + 2c - 5 = x² + 6. Ini tidak mungkin karena sisi kiri konstan sedangkan sisi kanan bergantung pada x.

Kembali ke persamaan:
(h(5))² + 2(h(5)) - 36 = 0.
Solusinya adalah h(5) = -1 + sqrt(37) atau h(5) = -1 - sqrt(37).

Mungkin ada kesalahan dalam soal atau interpretasi saya. Mari kita coba cari fungsi h(x) yang memenuhi.

Jika h(x) = ax + b, kita dapatkan:
a² = 1 => a = ±1
2ab + 2a = 0 => b = -1 (jika a=1 atau a=-1)
Konstanta: b² + 2b - 5 = 6.
Jika b=-1, maka (-1)² + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6. Ini harusnya sama dengan 6.

Mari kita lihat kembali f(g(h(x))) = (h(x))² + 2(h(x)) - 5.
Kita inginkan ini = x² + 6.

Perhatikan jika h(x) = x+k, kita mendapatkan:
x² + (2k+2)x + (k² + 2k - 5) = x² + 6.

Agar ini berlaku untuk semua x, maka:
Koefisien x: 2k + 2 = 0 => k = -1.
Konstanta: k² + 2k - 5 = 6.
Substitusi k = -1: (-1)² + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6. Ini tidak sama dengan 6.

Ada kemungkinan soalnya mengandung kesalahan penulisan atau saya perlu mempertimbangkan bentuk h(x) yang lain.

Namun, jika kita fokus pada mencari h(5) dari persamaan kuadrat yang kita dapatkan:
(h(5))² + 2(h(5)) - 36 = 0.

Jika kita coba memfaktorkan x² + 6, itu tidak membantu. 

Mari kita asumsikan ada cara lain untuk mendapatkan x² + 6.

Kita punya g(h(x)) = x² + 8.
Jika h(x) = x + c, maka:
(x+c)² + 2(x+c) = x² + 8
x² + 2cx + c² + 2x + 2c = x² + 8
(2c+2)x + (c² + 2c) = 8.

Agar ini berlaku untuk semua x, koefisien x harus 0, jadi 2c+2 = 0 => c = -1.
Jika c = -1, maka c² + 2c = (-1)² + 2(-1) = 1 - 2 = -1.
Jadi, -1 = 8, yang kontradiksi.

Mari kita kembali ke:
(h(5))² + 2(h(5)) - 36 = 0.

Jika kita perhatikan struktur soal komposit fungsi, seringkali h(x) memiliki bentuk yang sederhana.

Mungkin h(x) = ax^n + ...

Jika kita perhatikan output (f o g o h)(x) = x² + 6.
Input untuk f adalah g(h(x)).
Output f adalah g(h(x)) - 2.
Jadi g(h(x)) - 2 = x² + 6.
g(h(x)) = x² + 8.

Kita tahu g(x) = x² + 2x - 3.
Jadi, (h(x))² + 2(h(x)) - 3 = x² + 8.
(h(x))² + 2(h(x)) - 11 = x².

Jika kita perhatikan, jika h(x) = x, maka x² + 2x - 11 = x², yang menyiratkan 2x = 11, x = 11/2. Ini tidak berlaku untuk semua x.

Jika kita perhatikan jika h(x) = sqrt(x² + k) atau sejenisnya, ini akan menjadi kompleks.

Mari kita coba h(x) = sqrt(x² + m) + n.

Jika kita kembali ke (h(5))² + 2(h(5)) - 36 = 0.
Ini adalah satu-satunya persamaan yang kita dapatkan secara pasti untuk h(5).
Solusinya adalah h(5) = -1 ± sqrt(37).

Kita perlu mempertimbangkan syarat x > 0 pada g(x). Jika h(5) harus positif, maka kita ambil h(5) = -1 + sqrt(37).
sqrt(37) kira-kira 6.08.
Jadi h(5) ≈ -1 + 6.08 = 5.08. Ini positif.

Hasilnya bisa -1 + sqrt(37) atau -1 - sqrt(37).
Jika kita harus memilih satu, dan mempertimbangkan syarat x>0 pada g(x) mungkin menyiratkan bahwa input g juga positif, maka h(5) harus positif.

Jadi, h(5) = -1 + sqrt(37).