Diberikan persamaan kuadrat x^2-x-3=0 dengan akar-akarnya

$x^2 + 2x - 51 = 0$

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat $x^2 - x - 3 = 0$ dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$.

Menurut Vieta, kita punya:
$\alpha + \beta = -(\frac{-1}{1}) = 1$
$\alpha \beta = \frac{-3}{1} = -3$

Kita ingin menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $4\alpha - 3$ dan $4\beta - 3$.

Misalkan akar-akar baru adalah $\alpha'$ dan $\beta'$, maka:
$\alpha' = 4\alpha - 3$
$\beta' = 4\beta - 3$

Jumlah akar-akar baru:
$\alpha' + \beta' = (4\alpha - 3) + (4\beta - 3)$
$= 4\alpha + 4\beta - 6$
$= 4(\alpha + \beta) - 6$
$= 4(1) - 6$
$= 4 - 6 = -2$

Hasil kali akar-akar baru:
$\alpha' \beta' = (4\alpha - 3)(4\beta - 3)$
$= 16\alpha\beta - 12\alpha - 12\beta + 9$
$= 16\alpha\beta - 12(\alpha + \beta) + 9$
$= 16(-3) - 12(1) + 9$
$= -48 - 12 + 9$
$= -60 + 9 = -51$

Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha'$ dan $\beta'$ adalah $x^2 - (\alpha' + \beta')x + \alpha'\beta' = 0$.

Mengganti nilai yang telah dihitung:
$x^2 - (-2)x + (-51) = 0$
$x^2 + 2x - 51 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $4\alpha - 3$ dan $4\beta - 3$ adalah $x^2 + 2x - 51 = 0$.