Diketahui 2+4+6+28+...+2n. Dengan induksi matematika, rumus

Rumus deret 2 + 4 + 6 + ... + 2n adalah n(n+1).

Pembahasan

Kita akan menggunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan rumus deret 2 + 4 + 6 + ... + 2n.

Langkah 1: Basis Induksi
Kita perlu menunjukkan bahwa rumus tersebut benar untuk nilai n terkecil, biasanya n=1.
Untuk n=1, deretnya adalah 2.
Rumus yang kita duga adalah Sn = n(n+1).
Jika kita substitusikan n=1 ke dalam rumus dugaan: S1 = 1(1+1) = 1(2) = 2.
Karena hasil dari deret (2) sama dengan hasil dari rumus dugaan (2), maka basis induksi terpenuhi.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k. Artinya, jumlah k suku pertama adalah k(k+1).
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k+1)

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu menunjukkan bahwa jika rumus tersebut benar untuk k, maka rumus tersebut juga benar untuk k+1.
Artinya, kita perlu membuktikan bahwa:
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2)

Mulai dari sisi kiri persamaan:
(2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1)
Berdasarkan hipotesis induksi, kita bisa mengganti (2 + 4 + 6 + ... + 2k) dengan k(k+1):
k(k+1) + 2(k+1)

Sekarang, kita faktorkan (k+1):
(k+1)(k + 2)

Ini sama dengan sisi kanan persamaan yang ingin kita buktikan.

Kesimpulan:
Karena basis induksi terpenuhi dan langkah induksi menunjukkan bahwa jika rumus benar untuk k maka benar untuk k+1, maka dengan prinsip induksi matematika, rumus deret 2 + 4 + 6 + ... + 2n adalah Sn = n(n+1).