Diketahui A^-1 adalah invers matriks A. Jika A (2 a 0

3

Pembahasan

Diketahui matriks A = [[2, 0], [-a, a]] dan B = [[1, b], [0, 1]]. 
Ditanya nilai a+b jika (AB)^-1 = 1/2 [[1, 1], [-2, -4]].

Langkah 1: Hitung perkalian matriks AB.
AB = [[2, 0], [-a, a]] * [[1, b], [0, 1]]
AB = [[(2*1)+(0*0), (2*b)+(0*1)], [(-a*1)+(a*0), (-a*b)+(a*1)]]
AB = [[2, 2b], [-a, -ab+a]]
AB = [[2, 2b], [-a, a(1-b)]]

Langkah 2: Cari invers dari matriks AB.
Jika C = [[p, q], [r, s]], maka C^-1 = 1/(ps-qr) * [[s, -q], [-r, p]].
Determinan (AB) = 2 * a(1-b) - (2b) * (-a)
Determinan (AB) = 2a - 2ab + 2ab
Determinan (AB) = 2a

(AB)^-1 = 1/(2a) * [[a(1-b), -2b], [a, 2]]
(AB)^-1 = [[a(1-b)/(2a), -2b/(2a)], [a/(2a), 2/(2a)]]
(AB)^-1 = [[(1-b)/2, -b/a], [1/2, 1/a]]

Langkah 3: Samakan dengan (AB)^-1 yang diberikan.
(AB)^-1 = 1/2 [[1, 1], [-2, -4]] = [[1/2, 1/2], [-1, -2]]

Dengan membandingkan kedua matriks (AB)^-1:

Dari elemen [1,1]: (1-b)/2 = 1/2  => 1-b = 1 => b = 0
Dari elemen [2,2]: 1/a = -2 => a = -1/2

Untuk verifikasi, kita bisa cek elemen lain:
Dari elemen [1,2]: -b/a = 1/2 => -(0)/(-1/2) = 0. Ini tidak sama dengan 1/2. Terjadi kesalahan dalam soal atau dalam pemahaman soal.

Mari kita periksa kembali soalnya. Kemungkinan penulisan matriksnya kurang jelas.
Jika A = [[2, a], [0, -a]] dan B = [[1, 0], [b, 1]]

AB = [[2, a], [0, -a]] * [[1, 0], [b, 1]]
AB = [[(2*1)+(a*b), (2*0)+(a*1)], [(0*1)+(-a*b), (0*0)+(-a*1)]]
AB = [[2+ab, a], [-ab, -a]]

Determinan (AB) = (2+ab)(-a) - (a)(-ab)
Determinan (AB) = -2a - a^2b + a^2b
Determinan (AB) = -2a

(AB)^-1 = 1/(-2a) * [[-a, -a], [ab, 2+ab]]
(AB)^-1 = [[-a/(-2a), -a/(-2a)], [ab/(-2a), (2+ab)/(-2a)]]
(AB)^-1 = [[1/2, 1/2], [-b/2, -(2+ab)/(2a)]]

Diketahui (AB)^-1 = 1/2 [[1, 1], [-2, -4]] = [[1/2, 1/2], [-1, -2]]

Samakan elemen:
Dari elemen [1,1]: 1/2 = 1/2 (sesuai)
Dari elemen [1,2]: 1/2 = 1/2 (sesuai)
Dari elemen [2,1]: -b/2 = -1 => -b = -2 => b = 2
Dari elemen [2,2]: -(2+ab)/(2a) = -2 => (2+ab)/(2a) = 2 => 2+ab = 4a
Substitusikan b=2 ke persamaan terakhir:
2 + a(2) = 4a
2 + 2a = 4a
2 = 2a
a = 1

Maka, nilai a = 1 dan b = 2.

Nilai a+b = 1 + 2 = 3.