Diketahui A={1,2,3,4} dan relasi-relasi di dalam A:

R3, R4, dan R5

Pembahasan

Relasi dikatakan transitif jika untuk setiap elemen a, b, dan c dalam himpunan A, jika (a,b) termasuk dalam relasi dan (b,c) termasuk dalam relasi, maka (a,c) juga harus termasuk dalam relasi tersebut. Mari kita periksa setiap relasi:
R1={(1,1),(1,2)}: Memiliki (1,1) dan (1,2). Agar transitif, perlu ada (1,2). (1,2) sudah ada. Namun, kita juga perlu memeriksa jika ada (a,b) dan (b,c) lain. Misal, jika kita punya (1,1) dan (1,1), maka harus ada (1,1). Relasi ini tidak transitif karena kita tidak bisa menguji semua kemungkinan karena keterbatasan pasangan. Namun, jika kita hanya mempertimbangkan pasangan yang diberikan, ia tidak melanggar definisi secara eksplisit.
R2={(1,1),(2,3),(4,1)}: Memiliki (1,1) dan (1,1), maka harus ada (1,1) - ada. Memiliki (2,3), tetapi tidak ada pasangan yang dimulai dengan 3. Memiliki (4,1), tetapi tidak ada pasangan yang dimulai dengan 1 selain (1,1) dan (1,2). Namun, R2 = {(1,1), (2,3), (4,1)}. Jika ada (1,1) dan (1,1), maka harus ada (1,1) -> ada. Jika ada (2,3) dan (3,x) maka harus ada (2,x). Tidak ada pasangan yang dimulai dengan 3. Jika ada (4,1) dan (1,1) maka harus ada (4,1) -> ada. Jika ada (4,1) dan (1,2) maka harus ada (4,2) -> tidak ada. Jadi R2 tidak transitif.
R3={(1,3),(2,4)}: Tidak ada pasangan yang dapat digunakan untuk menguji transitivitas (tidak ada (a,b) dan (b,c) dengan b yang sama). Jadi R3 transitif secara trivial.
R4={(1,1),(2,2),(3,3)}: Memiliki (1,1) dan (1,1), maka harus ada (1,1) - ada. Memiliki (2,2) dan (2,2), maka harus ada (2,2) - ada. Memiliki (3,3) dan (3,3), maka harus ada (3,3) - ada. Jadi R4 transitif.
R5=A x A: Himpunan A={1,2,3,4}. A x A adalah himpunan semua pasangan terurut dari A. Akan ada pasangan seperti (1,2) dan (2,1). Jika ada (1,2) dan (2,1), maka harus ada (1,1). Jika ada (1,3) dan (3,1), maka harus ada (1,1). Karena A x A berisi semua pasangan yang mungkin, maka ia pasti transitif. Namun, jika yang dimaksud dengan A x A adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dimana a dan b berasal dari A, maka relasi ini pasti transitif. Contoh: Jika (1,2) ada dan (2,3) ada, maka (1,3) harus ada. Dalam A x A, semua pasangan ada, jadi ini pasti transitif. 

Relasi yang merupakan relasi transitif adalah R3, R4, dan R5.