Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10 cm, BC = 5

\\(\frac{\\sqrt{6}}{3}\\)

Pembahasan

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, BC = 5 cm, dan CG = 10 cm. Titik P pada pertengahan AB, sehingga AP = PB = 5 cm. Titik Q pada pertengahan CG, sehingga CQ = QG = 5 cm. Kita ingin mencari kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan bidang alas ABCD.

Untuk mempermudah, kita dapat menggunakan sistem koordinat.
Misalkan A = (0,0,0)
B = (10,0,0)
D = (0,5,0)
C = (10,5,0)
G = (10,5,10)

Maka, koordinat P (pertengahan AB) adalah ((0+10)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (5,0,0).
Koordinat Q (pertengahan CG) adalah ((10+10)/2, (5+5)/2, (0+10)/2) = (10,5,5).

Selanjutnya, kita cari vektor PQ:
$\\vec{PQ}$ = Q - P = (10-5, 5-0, 5-0) = (5, 5, 5).

Bidang alas adalah bidang ABCD, yang dapat direpresentasikan oleh vektor normal k = (0,0,1) atau sebarang vektor yang tegak lurus terhadap bidang alas. Cara lain adalah dengan memproyeksikan vektor PQ ke bidang alas. Vektor proyeksi PQ pada bidang alas adalah vektor PQ' di mana komponen z-nya dihilangkan, yaitu PQ' = (5,5,0).

Panjang PQ = $\\sqrt{5^2 + 5^2 + 5^2} = \\sqrt{25 + 25 + 25} = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3}$.
Panjang PQ' = $\\sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} = \\sqrt{25 + 25} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}$.

Kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan bidang alas adalah perbandingan panjang proyeksi PQ pada bidang alas dengan panjang PQ itu sendiri.
$\\cos(\\theta) = \\frac{Panjang \\ PQ'}{Panjang \\ PQ} = \\frac{5\\sqrt{2}}{5\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}$.

Jadi, nilai kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan bidang alas adalah $\\frac{\\sqrt{6}}{3}$.