Diketahui bidang empat beraturan ABCD yang panjang rusuknya

Jarak titik A ke bidang BCD adalah (2p * sqrt(6)) / 3

Pembahasan

Bidang empat beraturan (tetrahedron beraturan) adalah bangun ruang yang keempat sisinya berbentuk segitiga sama sisi. Jika panjang rusuknya adalah 2p, maka setiap sisi segitiga sama sisi tersebut memiliki panjang 2p.

Untuk mencari jarak titik A ke bidang BCD, kita perlu mencari tinggi tetrahedron tersebut dari titik A ke alas BCD. Alas BCD adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2p.

Misalkan O adalah titik pusat (centroid) dari segitiga sama sisi BCD. Jarak titik A ke bidang BCD adalah panjang garis AO, yang merupakan tinggi tetrahedron.

Dalam segitiga sama sisi BCD, titik O membagi garis tinggi dari B ke CD (misalnya di titik M) dengan perbandingan 2:1. Jadi, BO = (2/3) * tinggi segitiga BCD.

Panjang sisi segitiga sama sisi BCD adalah s = 2p.
Tinggi segitiga sama sisi (h_segitiga) = (s * sqrt(3)) / 2 = (2p * sqrt(3)) / 2 = p * sqrt(3).

Jarak dari titik sudut B ke pusat O (BO) = (2/3) * h_segitiga = (2/3) * (p * sqrt(3)) = (2p * sqrt(3)) / 3.

Sekarang kita tinjau segitiga siku-siku ABO, di mana AB adalah rusuk tetrahedron (panjang = 2p), BO adalah jarak dari titik sudut alas ke pusat alas, dan AO adalah tinggi tetrahedron yang kita cari.

Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABO:
AB^2 = AO^2 + BO^2
(2p)^2 = AO^2 + [(2p * sqrt(3)) / 3]^2
4p^2 = AO^2 + [4p^2 * 3 / 9]
4p^2 = AO^2 + [12p^2 / 9]
4p^2 = AO^2 + (4/3)p^2

AO^2 = 4p^2 - (4/3)p^2
AO^2 = (12/3)p^2 - (4/3)p^2
AO^2 = (8/3)p^2

AO = sqrt((8/3)p^2)
AO = p * sqrt(8/3)
AO = p * sqrt(8) / sqrt(3)
AO = p * 2*sqrt(2) / sqrt(3)
AO = (2p * sqrt(2) * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3))
AO = (2p * sqrt(6)) / 3

Jadi, jarak titik A ke bidang BCD adalah (2p * sqrt(6)) / 3.