Diketahui dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari r

5 cm

Pembahasan

Kita diberikan informasi mengenai dua lingkaran dengan jari-jari r dan r-1. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 3r cm, dan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 12 cm.
Rumus untuk panjang garis singgung persekutuan dalam (d) antara dua lingkaran dengan jari-jari R dan r, serta jarak antar pusat p adalah:
d² = p² - (R + r)²
Dalam soal ini, kita punya:
d = 12 cm
p = 3r cm
R = r
r = r-1
Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
12² = (3r)² - (r + (r-1))²
144 = 9r² - (2r - 1)²
144 = 9r² - (4r² - 4r + 1)
144 = 9r² - 4r² + 4r - 1
144 = 5r² + 4r - 1
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
5r² + 4r - 1 - 144 = 0
5r² + 4r - 145 = 0
Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus abc: r = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a=5, b=4, c=-145.
Diskriminan (Δ) = b² - 4ac = 4² - 4(5)(-145) = 16 + 2900 = 2916
√Δ = √2916 = 54
Maka, r = [-4 ± 54] / (2 * 5)
r₁ = (-4 + 54) / 10 = 50 / 10 = 5
r₂ = (-4 - 54) / 10 = -58 / 10 = -5,8
Karena jari-jari tidak mungkin bernilai negatif, maka kita ambil nilai r = 5.
Jadi, panjang r adalah 5 cm.