Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 30 cm.

a. $30\sqrt{3}$ cm, b. $10\sqrt{6}$ cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $s = 30$ cm.

a. Jarak titik D ke titik F:
Titik D berada di alas belakang kiri, dan titik F berada di atas depan kanan. Jarak DF adalah diagonal ruang kubus.
Kita bisa gunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku DCH, lalu segitiga siku-siku DHF.
Dalam segitiga DCH (salah satu sisi alas), DC = 30 cm, CH = 30 cm.
$DH^2 = DC^2 + CH^2$
$DH^2 = 30^2 + 30^2 = 900 + 900 = 1800$
$DH = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}$ cm (ini adalah diagonal sisi alas).

Sekarang perhatikan segitiga siku-siku DHF. Alasnya adalah DH, tingginya adalah HF (yang sama dengan panjang rusuk kubus, yaitu 30 cm).
$DF^2 = DH^2 + HF^2$
$DF^2 = (30\sqrt{2})^2 + 30^2$
$DF^2 = 1800 + 900 = 2700$
$DF = \sqrt{2700} = \sqrt{900 \times 3} = 30\sqrt{3}$ cm.

Cara lain adalah menggunakan rumus diagonal ruang kubus: $d = s\sqrt{3}$.
$DF = 30\sqrt{3}$ cm.

b. Jarak titik B ke titik AG:
Titik B berada di alas depan kanan. Garis AG adalah diagonal ruang yang menghubungkan titik A (alas depan kiri) ke G (atas belakang kanan).

Untuk mencari jarak titik B ke garis AG, kita perlu mencari panjang proyeksi titik B ke garis AG. Misalkan titik proyeksi tersebut adalah P.

Kita dapat menggunakan konsep vektor atau luas segitiga.

Metode Luas Segitiga:
Perhatikan segitiga ABG. AB = 30 (rusuk), BG = $30\sqrt{2}$ (diagonal sisi). AG = $30\sqrt{3}$ (diagonal ruang).
Luas segitiga ABG dapat dihitung dengan dua cara:
1. Menggunakan alas AB dan tinggi BG (karena $\angle ABG = 90^\circ$):
   Luas = $\frac{1}{2} \times AB 	imes BG = \frac{1}{2} 	imes 30 	imes 30\sqrt{2} = 450\sqrt{2}$ cm$^2$.

2. Menggunakan alas AG dan tinggi BP (jarak B ke AG):
   Luas = $\frac{1}{2} 	imes AG 	imes BP$
   $450\sqrt{2} = \frac{1}{2} 	imes 30\sqrt{3} 	imes BP$
   $900\sqrt{2} = 30\sqrt{3} 	imes BP$
   $BP = \frac{900\sqrt{2}}{30\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{6}}{3} = 10\sqrt{6}$ cm.

Jadi, jarak titik B ke garis AG adalah $10\sqrt{6}$ cm.