Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathGeometri Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = a.

Pertanyaan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Tentukan jarak titik C ke diagonal sisi BE.

Solusi

Verified

Jarak titik C ke diagonal sisi BE adalah a.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menentukan jarak antara titik C dan diagonal sisi BE pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Langkah 1: Visualisasikan kubus dan titik-titik yang terlibat. Kubus ABCD.EFGH memiliki alas ABCD dan atas EFGH. Titik C berada di alas, sedangkan BE adalah diagonal sisi pada bidang BCFG atau ABFE. Langkah 2: Tentukan koordinat titik-titik (opsional, bisa juga menggunakan geometri murni). Misalkan A = (0, 0, 0). Maka: B = (a, 0, 0) C = (a, a, 0) E = (0, 0, a) Langkah 3: Cari vektor yang relevan. Kita ingin mencari jarak dari titik C ke garis BE. Langkah 4: Gunakan rumus jarak titik ke garis. Jarak titik P ke garis yang melalui titik A dengan vektor arah **v** adalah: d = ||(P - A) x **v**|| / ||**v**|| Dalam kasus ini: Titik P adalah C = (a, a, 0). Titik A pada garis adalah B = (a, 0, 0). Vektor arah **v** adalah vektor BE = E - B = (0, 0, a) - (a, 0, 0) = (-a, 0, a). Hitung P - B: P - B = C - B = (a, a, 0) - (a, 0, 0) = (0, a, 0). Hitung (P - B) x **v** (cross product): (0, a, 0) x (-a, 0, a) = | i j k | 0 a 0 | -a 0 a | = i(a*a - 0*0) - j(0*a - 0*(-a)) + k(0*0 - a*(-a)) = i(a^2) - j(0) + k(a^2) = (a^2, 0, a^2) Hitung ||(P - B) x **v**||: ||(a^2, 0, a^2)|| = sqrt((a^2)^2 + 0^2 + (a^2)^2) = sqrt(a^4 + a^4) = sqrt(2a^4) = a^2 * sqrt(2) Hitung ||**v**||: ||(-a, 0, a)|| = sqrt((-a)^2 + 0^2 + a^2) = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a * sqrt(2) Hitung jarak d: d = ||(P - B) x **v**|| / ||**v**|| d = (a^2 * sqrt(2)) / (a * sqrt(2)) d = a Alternatif menggunakan geometri murni: Perhatikan bidang BCGF. Kita ingin mencari jarak C ke garis BE. Perhatikan segitiga BCE. BC = a, CE = a (diagonal sisi), BE = a * sqrt(2) (diagonal sisi). Segitiga BCE adalah segitiga siku-siku di C jika kita melihat kubus dari sudut pandang tertentu, namun BE bukan diagonal ruang. BE adalah diagonal sisi pada bidang ABFE. Mari kita tinjau segitiga siku-siku BCE. BC = a (rusuk) CE = a (rusuk) BE = a * sqrt(2) (diagonal sisi). Sudut CBE = 45 derajat. Kita ingin mencari jarak dari C ke garis BE. Ini adalah tinggi segitiga BCE jika kita menganggap BE sebagai alasnya. Luas segitiga BCE = 1/2 * alas * tinggi Jika alasnya BC, tingginya adalah CD (tidak tepat). Jika alasnya CE, tingginya adalah CB (tidak tepat). Kita perlu mencari jarak titik C ke garis BE. Proyeksi C pada garis BE. Misalkan titik proyeksi adalah P. Perhatikan segitiga BCE. BC = a, CE = a, BE = a√2. Ini adalah segitiga siku-siku di C. (Ini salah, BCFE adalah persegi, jadi BCE adalah segitiga siku-siku di C). Jadi, segitiga BCE siku-siku di C. BC = a CE = a BE = a√2 Jarak titik C ke garis BE adalah tinggi segitiga BCE dari C ke sisi miring BE. Luas segitiga BCE = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * BC * CE = 1/2 * a * a = 1/2 * a^2. Juga, Luas segitiga BCE = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * BE * h, di mana h adalah jarak dari C ke BE. 1/2 * a^2 = 1/2 * (a√2) * h a^2 = a√2 * h h = a^2 / (a√2) h = a / √2 h = (a√2) / 2 Mari kita periksa kembali koordinat dan vektornya. A = (0, 0, 0) B = (a, 0, 0) C = (a, a, 0) E = (0, 0, a) Garis BE: melalui B(a, 0, 0) dengan vektor arah BE = E - B = (-a, 0, a). Titik C = (a, a, 0). Proyeksi vektor BC pada vektor BE. vektor BC = C - B = (a, a, 0) - (a, 0, 0) = (0, a, 0). vektor BE = (-a, 0, a). Proyeksi skalar BC pada BE = (BC . BE) / ||BE|| BC . BE = (0)(-a) + (a)(0) + (0)(a) = 0. Ini berarti vektor BC tegak lurus terhadap vektor BE. Ini tidak mungkin karena C tidak tegak lurus terhadap BE. Ada kekeliruan dalam memahami geometri atau koordinat. Mari kita gunakan sudut. Dalam kubus ABCD.EFGH, BE adalah diagonal sisi pada bidang ABFE. Panjang rusuk = a. Segitiga BCE: BC = a (rusuk) CE = a (rusuk) BE = a√2 (diagonal sisi) Sudut BCE = 90 derajat. Kita ingin mencari jarak dari titik C ke garis BE. Ini adalah tinggi segitiga siku-siku BCE, dari sudut siku-siku C ke sisi miring BE. Luas segitiga BCE = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * BC * CE = 1/2 * a * a = 1/2 a^2. Luas segitiga BCE juga = 1/2 * BE * h, di mana h adalah jarak dari C ke BE. 1/2 a^2 = 1/2 * (a√2) * h a^2 = a√2 * h h = a^2 / (a√2) h = a/√2 h = a√2 / 2. Mari kita cek kembali soalnya. Jarak titik C dengan diagonal sisi BE. Perhatikan bidang BCGF. Diagonalnya adalah BG dan CF. Perhatikan bidang ABFE. Diagonalnya adalah AF dan BE. Titik C berada di bidang alas ABCD. Diagonal sisi BE berada di bidang sisi ABFE. Kita perlu mencari jarak dari C ke garis yang mengandung BE. Mari kita gunakan kubus satuan untuk visualisasi. a = 1. B = (1, 0, 0) E = (0, 0, 1) C = (1, 1, 0) Garis BE: melalui B(1, 0, 0) dengan vektor arah u = E - B = (-1, 0, 1). Parameterisasi garis BE: L(t) = B + t*u = (1, 0, 0) + t(-1, 0, 1) = (1-t, 0, t). Titik C = (1, 1, 0). Jarak dari C ke garis BE adalah panjang vektor dari C ke titik terdekat pada garis BE. Misalkan titik terdekat pada garis adalah P(1-t, 0, t). Vektor CP = P - C = (1-t - 1, 0 - 1, t - 0) = (-t, -1, t). Agar P menjadi titik terdekat, vektor CP harus tegak lurus terhadap vektor arah garis BE (u). CP . u = 0 (-t, -1, t) . (-1, 0, 1) = 0 (-t)(-1) + (-1)(0) + (t)(1) = 0 t + 0 + t = 0 2t = 0 t = 0. Jadi, titik terdekat pada garis BE adalah P ketika t=0, yaitu P = B = (1, 0, 0). Vektor CP = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0). Jaraknya adalah panjang vektor CP = ||(0, 1, 0)|| = sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1. Karena a=1, maka jaraknya adalah a. Kesimpulan: Jarak titik C ke diagonal sisi BE adalah a.
Topik: Jarak Titik Ke Garis
Section: Jarak Titik Ke Garis Pada Kubus, Kubus

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...