Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Tentukan

a. $12\sqrt{3}$ cm, b. $6\sqrt{6}$ cm, c. 12 cm, d. 12 cm, e. $12\sqrt{2}$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak-jarak pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm:

a. Jarak titik B ke titik G:
Titik B dan G dihubungkan oleh diagonal ruang kubus. Rumus diagonal ruang adalah $s\sqrt{3}$, di mana s adalah panjang rusuk.
Jarak BG = $12\sqrt{3}$ cm.

b. Jarak titik B ke titik P (P titik tengah FH):
Titik P adalah titik tengah diagonal FH. Dalam kubus, diagonal bidang FH sama panjangnya dengan diagonal bidang lainnya, yaitu $s\sqrt{2}$.
FH = $12\sqrt{2}$ cm.
PF = FH/2 = $6\sqrt{2}$ cm.
Segitiga BPF adalah segitiga siku-siku di F. Menggunakan teorema Pythagoras:
BP² = BF² + PF²
BP² = $12^2$ + $(6\sqrt{2})^2$
BP² = 144 + (36 * 2)
BP² = 144 + 72
BP² = 216
BP = $\sqrt{216}$ = $6\sqrt{6}$ cm.

c. Jarak titik G ke garis BD:
Garis BD adalah diagonal bidang alas ABCD. Jarak titik G ke garis BD adalah panjang garis tegak lurus dari G ke BD. Proyeksi G pada bidang alas adalah titik G itu sendiri, dan proyeksi G pada garis BD adalah titik O (pusat persegi ABCD). Jadi, jarak G ke BD adalah GO. GO adalah setengah dari diagonal ruang BG (tidak benar).
Perhatikan segitiga BGD. Ini adalah segitiga siku-siku di D. BD = $12\sqrt{2}$ cm. BG = $12\sqrt{3}$ cm. DG = 12 cm.
Jarak G ke BD adalah tinggi segitiga BGD dari G ke sisi BD. Luas segitiga BGD = 1/2 * BD * DG = 1/2 * $12\sqrt{2}$ * 12 = $72\sqrt{2}$.
Luas segitiga BGD = 1/2 * BD * t, di mana t adalah jarak G ke BD.
$72\sqrt{2}$ = 1/2 * $12\sqrt{2}$ * t
$72\sqrt{2}$ = $6\sqrt{2}$ * t
t = 12 cm.

d. Jarak titik E ke bidang CDHG:
Bidang CDHG adalah salah satu sisi tegak kubus. Jarak titik E ke bidang CDHG adalah panjang rusuk EH atau CG, karena EH tegak lurus dengan bidang CDHG.
Jarak = 12 cm.

e. Jarak titik E ke bidang BDG:
Bidang BDG adalah bidang diagonal yang memotong kubus. Jarak titik E ke bidang BDG adalah tinggi limas E.BDG dengan alas segitiga BDG. Volume limas E.BDG = 1/3 * Luas Alas * Tinggi.
Volume kubus = $12^3 = 1728$.
Volume limas E.BDG = 1/3 * Volume Kubus = 1/3 * 1728 = 576.
Luas alas segitiga BDG = $72\sqrt{2}$ cm² (dihitung di poin c).
Volume limas E.BDG = 1/3 * Luas Alas BDG * Tinggi (jarak E ke BDG)
576 = 1/3 * $72\sqrt{2}$ * t
576 = $24\sqrt{2}$ * t
t = $576 / (24\sqrt{2})$
t = $24 / \sqrt{2}$
t = $24\sqrt{2} / 2$
t = $12\sqrt{2}$ cm.