Diketahui polinomial p(x)=x^4+x^3-13x^2+ax+b. Jika x^2-1

Himpunan penyelesaiannya adalah {-4, -1, 1, 3}.

Pembahasan

Karena x^2 - 1 merupakan faktor dari p(x), maka p(1) = 0 dan p(-1) = 0.

p(1) = 1^4 + 1^3 - 13(1)^2 + a(1) + b = 1 + 1 - 13 + a + b = -11 + a + b = 0
Maka, a + b = 11 (Persamaan 1)

p(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 13(-1)^2 + a(-1) + b = 1 - 1 - 13 - a + b = -13 - a + b = 0
Maka, -a + b = 13 (Persamaan 2)

Menjumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(a + b) + (-a + b) = 11 + 13
2b = 24
b = 12

Mengganti nilai b ke Persamaan 1:
a + 12 = 11
a = -1

Jadi, polinomialnya adalah p(x) = x^4 + x^3 - 13x^2 - x + 12.
Karena x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) adalah faktor, maka x=1 dan x=-1 adalah akar-akar persamaan p(x) = 0.
Kita bisa membagi p(x) dengan x^2 - 1 menggunakan pembagian polinomial.

       x^2 + x - 12
x^2-1 | x^4 + x^3 - 13x^2 - x + 12
      -(x^4       - x^2)
      ------------------
            x^3 - 12x^2 - x
           -(x^3       - x)
           ------------------
                 -12x^2     + 12
                -(-12x^2     + 12)
                ------------------
                       0

Maka, p(x) = (x^2 - 1)(x^2 + x - 12) = (x - 1)(x + 1)(x + 4)(x - 3).

Himpunan penyelesaian persamaan p(x) = 0 adalah {-4, -1, 1, 3}.