Diketahui vektor a=2i-j+2k, vektor b=2i+5j+6k, dan vektor

Proyeksi skalar (a+b) pada arah (b-c) adalah 52/7, dan proyeksi vektor ortogonalnya adalah (312/49)i + (156/49)j + (104/49)k.

Pembahasan

Diketahui vektor a = 2i - j + 2k, vektor b = 2i + 5j + 6k, dan vektor c = -4i + 2j + 4k.

Kita perlu menentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor ortogonal (a+b) pada arah vektor (b-c).

Langkah 1: Hitung vektor (a+b).
a + b = (2i - j + 2k) + (2i + 5j + 6k)
a + b = (2+2)i + (-1+5)j + (2+6)k
a + b = 4i + 4j + 8k

Langkah 2: Hitung vektor (b-c).
b - c = (2i + 5j + 6k) - (-4i + 2j + 4k)
b - c = (2 - (-4))i + (5 - 2)j + (6 - 4)k
b - c = (2 + 4)i + 3j + 2k
b - c = 6i + 3j + 2k

Langkah 3: Hitung proyeksi skalar (a+b) pada arah (b-c).
Proyeksi skalar dirumuskan sebagai: 
$\|a+b\| \cos \theta = \frac{(a+b) \cdot (b-c)}{\|b-c\|}$

Hitung dot product (a+b) . (b-c):
(a+b) . (b-c) = (4i + 4j + 8k) . (6i + 3j + 2k)
= (4 * 6) + (4 * 3) + (8 * 2)
= 24 + 12 + 16
= 52

Hitung magnitude (nilai mutlak) dari vektor (b-c):
$\|b-c\| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}$
$\|b-c\| = \sqrt{36 + 9 + 4}$
$\|b-c\| = \sqrt{49}$
$\|b-c\| = 7

Proyeksi skalar = 52 / 7

Langkah 4: Hitung proyeksi vektor ortogonal (a+b) pada arah (b-c).
Proyeksi vektor dirumuskan sebagai:
$proy_{b-c}(a+b) = \frac{(a+b) \cdot (b-c)}{\|b-c\|^2} (b-c)$

Proyeksi vektor = $\frac{52}{7^2} (6i + 3j + 2k)$
Proyeksi vektor = $\frac{52}{49} (6i + 3j + 2k)$
Proyeksi vektor = $\frac{312}{49}i + \frac{156}{49}j + \frac{104}{49}k$

Jadi, proyeksi skalar (a+b) pada arah (b-c) adalah 52/7, dan proyeksi vektor ortogonalnya adalah (312/49)i + (156/49)j + (104/49)k.