Diketahui vektor a=3i-2j, vektor b=-i+4j, dan r=7i-8j. Jika

Nilai k+m adalah 1.

Pembahasan

Diketahui vektor $\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j}$, vektor $\mathbf{b} = -\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$, dan vektor $\mathbf{r} = 7\mathbf{i} - 8\mathbf{j}$.
Kita diberitahu bahwa vektor $\mathbf{r} = k\mathbf{a} + m\mathbf{b}$.
Kita perlu mencari nilai $k+m$.

Substitusikan vektor-vektor yang diketahui ke dalam persamaan:
$7\mathbf{i} - 8\mathbf{j} = k(3\mathbf{i} - 2\mathbf{j}) + m(-1\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$

Distribusikan $k$ dan $m$ ke dalam vektor masing-masing:
$7\mathbf{i} - 8\mathbf{j} = (3k\mathbf{i} - 2k\mathbf{j}) + (-m\mathbf{i} + 4m\mathbf{j})$

Gabungkan komponen $\mathbf{i}$ dan komponen $\mathbf{j}$ di sisi kanan:
$7\mathbf{i} - 8\mathbf{j} = (3k - m)\mathbf{i} + (-2k + 4m)\mathbf{j}$

Sekarang, kita dapat menyamakan komponen $\mathbf{i}$ dan komponen $\mathbf{j}$ dari kedua sisi persamaan untuk membentuk sistem persamaan linear:

Untuk komponen $\mathbf{i}$:
$7 = 3k - m$  (Persamaan 1)

Untuk komponen $\mathbf{j}$:
$-8 = -2k + 4m$ (Persamaan 2)

Kita dapat menyederhanakan Persamaan 2 dengan membagi seluruh persamaan dengan 2:
$-4 = -k + 2m$ (Persamaan 3)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan dengan dua variabel:
1) $3k - m = 7$
3) $-k + 2m = -4$

Kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari gunakan metode substitusi. Dari Persamaan 1, kita dapat menyatakan $m$ dalam bentuk $k$:
$m = 3k - 7$

Substitusikan ekspresi untuk $m$ ke dalam Persamaan 3:
$-k + 2(3k - 7) = -4$
$-k + 6k - 14 = -4$
$5k - 14 = -4$
$5k = -4 + 14$
$5k = 10$
$k = \frac{10}{5}$
$k = 2$

Sekarang kita memiliki nilai $k$. Substitusikan nilai $k$ kembali ke dalam persamaan untuk $m$:
$m = 3k - 7$
$m = 3(2) - 7$
$m = 6 - 7$
$m = -1$

Jadi, kita mendapatkan $k=2$ dan $m=-1$.

Terakhir, kita perlu mencari $k+m$:
$k+m = 2 + (-1)$
$k+m = 2 - 1$
$k+m = 1$

Jadi, nilai dari $k+m$ adalah 1.