Diketahui vektor-vektor a, b, dan c dengan vektor b = (-2,

5

Pembahasan

Diketahui vektor a, b, dan c. Vektor b = (-2, 1). Vektor b tegak lurus dengan vektor c, yang berarti hasil kali titik (dot product) b dan c adalah 0. Misalkan vektor c = (x, y), maka -2x + 1y = 0, atau y = 2x. Jadi, vektor c dapat ditulis sebagai (x, 2x). Persamaan a - b - c = 0 berarti vektor a = b + c. Maka, a = (-2, 1) + (x, 2x) = (-2 + x, 1 + 2x). Diketahui |a| = 5, sehingga |a|^2 = 25. |a|^2 = (-2 + x)^2 + (1 + 2x)^2 = (4 - 4x + x^2) + (1 + 4x + 4x^2) = 5x^2 + 5 = 25. Maka, 5x^2 = 20, x^2 = 4, sehingga x = 2 atau x = -2. Jika x = 2, maka c = (2, 4) dan a = (0, 5). Jika x = -2, maka c = (-2, -4) dan a = (-4, -3). Luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor a, b, dan c adalah luas segitiga yang dibentuk oleh vektor a, b, dan c itu sendiri. Karena a = b + c, maka vektor a, b, dan c membentuk segitiga ketika digambarkan dari titik yang sama, atau jika kita menganggap titik awal vektor a, b, dan c adalah titik yang sama, maka mereka membentuk segitiga dengan sisi-sisi yang diwakili oleh vektor a, -b, dan -c, atau variasi lainnya. Cara lain adalah menghitung luas segitiga yang dibentuk oleh vektor a, b, dan c jika mereka ditempatkan berdampingan. Namun, informasi a-b-c=0 menyiratkan bahwa jika vektor a, b, dan c ditempatkan ujung-ke-ujung, mereka akan kembali ke titik awal, membentuk segitiga tertutup. Luas segitiga yang dibentuk oleh vektor a dan b (jika mereka berasal dari titik yang sama) dapat dihitung menggunakan setengah dari besar cross product (dalam 3D) atau menggunakan determinan dalam 2D. Luas = 1/2 |x1*y2 - x2*y1|. Jika kita menggunakan kasus x=2: a=(0,5), b=(-2,1). Luas = 1/2 |0*1 - (-2)*5| = 1/2 |10| = 5. Jika kita menggunakan kasus x=-2: a=(-4,-3), b=(-2,1). Luas = 1/2 |(-4)*1 - (-2)*(-3)| = 1/2 |-4 - 6| = 1/2 |-10| = 5. Jadi, luas segitiga yang dibentuk adalah 5.