Gambar berikut menunjukkan bahwa persegi panjang ABCD dan

$AD imes m = AB imes n$

Pembahasan

Karena persegi panjang ABCD dan AEFG sebangun, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Kita memiliki:
$rac{AD}{AG} = rac{AB}{AE}$

Misalkan panjang AB = L1 dan AD = W1 untuk persegi panjang ABCD. Misalkan panjang AE = L2 dan AG = W2 untuk persegi panjang AEFG.

Dari kesebangunan, kita dapat menulis:
$rac{W1}{W2} = rac{L1}{L2}$

Kita tahu bahwa EB = m, sehingga AE = AB - EB = L1 - m. Jadi, L2 = L1 - m.
Kita juga tahu bahwa DG = n. Karena AEFG adalah persegi panjang, maka AG = EF. Dan karena ABCD adalah persegi panjang, AD = BC.

Namun, hubungan DG = n perlu diinterpretasikan dengan benar. Jika G berada pada sisi CD, maka DG = n berarti panjang segmen dari D ke G adalah n. Jika G adalah titik sudut dari persegi panjang kedua, dan AEFG sebangun dengan ABCD, maka AG adalah salah satu sisi dari persegi panjang kedua.

Mari kita asumsikan bahwa AEFG adalah persegi panjang di dalam ABCD, dengan A sebagai titik sudut yang sama, dan E pada AB, G pada AD, dan F pada diagonal BD atau pada CD. Namun, deskripsi "persegi panjang AE FG" menyiratkan bahwa AE dan AG adalah sisi-sisinya.

Jika AEFG sebangun dengan ABCD, maka rasio sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama:
$rac{AD}{AE} = rac{AB}{AG}$

Atau bisa juga
$rac{AD}{AB} = rac{AG}{AE}$

Kita tahu EB = m, jadi AE = AB - m.
Kita tahu DG = n. Jika G terletak pada AD, maka AG = AD - DG = AD - n.

Jadi, kita punya:
$rac{AD}{AB - m} = rac{AB}{AD - n}$

Kalikan silang:
$AD(AD - n) = AB(AB - m)$
$AD^2 - AD 	imes n = AB^2 - AB 	imes m$

Ini tidak langsung memberikan hubungan yang jelas tanpa mengetahui posisi G secara pasti.

Mari kita pertimbangkan kasus di mana AEFG ditempatkan sedemikian rupa sehingga E ada di AB dan G ada di AD, dan F ada di dalam ABCD.

Jika persegi panjang AEFG sebangun dengan ABCD, maka rasio panjang terhadap lebar adalah sama.
Misalkan AB = p dan AD = q.
Persegi panjang ABCD memiliki sisi p dan q.
Persegi panjang AEFG memiliki sisi AE dan AG.
Karena sebangun, $rac{AB}{AD} = rac{AE}{AG}$.

Kita diberi EB = m, maka AE = AB - EB = p - m.
Kita diberi DG = n. Jika G terletak pada AD, maka AG = AD - DG = q - n.

Maka perbandingannya menjadi:
$rac{p}{q} = rac{p - m}{q - n}$

$p(q - n) = q(p - m)$
$pq - pn = qp - qm$
$-pn = -qm$
$pn = qm$
$rac{p}{q} = rac{m}{n}$

Karena $rac{AB}{AD} = rac{p}{q}$, maka $rac{AB}{AD} = rac{m}{n}$.

Ini menyiratkan bahwa $rac{AD}{AB} = rac{n}{m}$.

Sekarang mari kita lihat pilihan jawaban yang mungkin. Pilihan jawaban tidak diberikan di sini, tetapi berdasarkan hubungan yang diturunkan, kita mencari hubungan antara AB, AD, m, dan n.

Jika kita mengasumsikan bahwa G berada pada sisi AD, maka AG = AD - DG = AD - n. Dan E berada pada sisi AB, maka AE = AB - EB = AB - m.

Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan AEFG, maka:
$rac{AB}{AD} = rac{AE}{AG}$
$rac{AB}{AD} = rac{AB - EB}{AD - DG}$
$rac{AB}{AD} = rac{AB - m}{AD - n}$

Cross-multiply:
$AB(AD - n) = AD(AB - m)$
$AB 	imes AD - AB 	imes n = AD 	imes AB - AD 	imes m$
$AB 	imes AD - AB 	imes n = AB 	imes AD - AD 	imes m$
$-AB 	imes n = -AD 	imes m$
$AB 	imes n = AD 	imes m$
$rac{AB}{AD} = rac{m}{n}$

Atau bisa juga ditulis:
$AD 	imes m = AB 	imes n$

Jika kita melihat rasio sisi yang bersesuaian sebagai:
$rac{AD}{AE} = rac{AB}{AG}$
$rac{AD}{AB - m} = rac{AB}{AD - n}$
$AD(AD - n) = AB(AB - m)$
$AD^2 - AD 	imes n = AB^2 - AB 	imes m$

Ini tidak mengarah ke kesimpulan yang sama. Perlu diperjelas bagaimana G berhubungan dengan ABCD.

Asumsi yang paling masuk akal adalah E pada AB dan G pada AD, dengan A sebagai titik sudut bersama. Jika AEFG sebangun dengan ABCD, maka rasio sisi-sisinya sama. Namun, urutan penamaan penting. Jika ABCD sebangun dengan AEFG, maka:
$rac{AB}{AE} = rac{BC}{EF} = rac{CD}{FG} = rac{DA}{GA}$

Jika kita ambil $rac{AB}{AE} = rac{AD}{AG}$:
$rac{AB}{AB-m} = rac{AD}{AD-n}$
$AB(AD-n) = AD(AB-m)$
$AB 	imes AD - AB 	imes n = AD 	imes AB - AD 	imes m$
$-AB 	imes n = -AD 	imes m$
$AB 	imes n = AD 	imes m$
$rac{AB}{AD} = rac{m}{n}$

Jika kita ambil $rac{AB}{AG} = rac{AD}{AE}$
$rac{AB}{AD-n} = rac{AD}{AB-m}$
$AB(AB-m) = AD(AD-n)$
$AB^2 - AB 	imes m = AD^2 - AD 	imes n$

Ini bergantung pada bagaimana kesebangunan didefinisikan (sisi mana yang bersesuaian).

Namun, jika AEFG sebangun dengan ABCD, dan E terletak pada AB dan G pada AD, maka rasio sisi harus konsisten. Sisi AE bersesuaian dengan AB, dan sisi AG bersesuaian dengan AD.

Maka:
$rac{AE}{AB} = rac{AG}{AD}$
$rac{AB-EB}{AB} = rac{AD-DG}{AD}$
$rac{AB-m}{AB} = rac{AD-n}{AD}$
$1 - rac{m}{AB} = 1 - rac{n}{AD}$
$rac{m}{AB} = rac{n}{AD}$
$m 	imes AD = n 	imes AB$
$rac{AD}{AB} = rac{n}{m}$

Atau:
$AD = rac{n}{m} AB$

Jadi, pernyataan yang benar adalah $AD 	imes m = AB 	imes n$, atau $rac{AD}{AB} = rac{n}{m}$.