Hasil dari integral (2x+1)^2=...

4/3 x^3 + 2x^2 + x + C

Pembahasan

Untuk menghitung integral dari $(2x+1)^2$, kita dapat menggunakan metode substitusi atau dengan menjabarkan terlebih dahulu.

Cara 1: Menjabarkan terlebih dahulu
$(2x+1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Sekarang kita integralkan:
$\int (4x^2 + 4x + 1) dx = \int 4x^2 dx + \int 4x dx + \int 1 dx$
$= 4 \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C$
$= 4 \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} + x + C$
$= \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$

Cara 2: Menggunakan substitusi
Misalkan $u = 2x+1$, maka $du = 2 dx$, atau $dx = \frac{1}{2} du$.

$\\int (2x+1)^2 dx = \int u^2 \left(\frac{1}{2} du\right)$
$= \frac{1}{2} \int u^2 du$
$= \frac{1}{2} \frac{u^{2+1}}{2+1} + C$
$= \frac{1}{2} \frac{u^3}{3} + C$
$= \frac{1}{6} u^3 + C$

Ganti kembali $u = 2x+1$:
$= \frac{1}{6} (2x+1)^3 + C$

Kedua hasil tersebut ekuivalen. Jika dijabarkan, $\frac{1}{6} (2x+1)^3 = \frac{1}{6} (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + \frac{1}{6}$. Konstanta $C$ dapat menyerap $\frac{1}{6}$.

Jadi, hasil integralnya adalah $\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$ atau $\frac{1}{6}(2x+1)^3 + C$.