Himpunan penyelesaian 8 cos 3x = 4 akar(3) untuk 0<=x<=360

Himpunan penyelesaiannya adalah {$10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ}$}.

Pembahasan

Untuk menemukan himpunan penyelesaian dari persamaan $8 \cos 3x = 4 \sqrt{3}$ untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$, kita perlu mengisolasi $\cos 3x$ dan kemudian mencari nilai $3x$, yang selanjutnya akan digunakan untuk menemukan nilai $x$.

Langkah 1: Sederhanakan persamaan.
Bagi kedua sisi persamaan dengan 8:
$\\cos 3x = \frac{4 \sqrt{3}}{8}$
$\\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 2: Cari nilai umum untuk $3x$.
Kita tahu bahwa nilai kosinus adalah $\\frac{\sqrt{3}}{2}$ pada sudut $30^{\circ}$ dan $330^{\circ}$ dalam satu putaran (0 hingga 360 derajat).

Karena $x$ berada dalam rentang $0 \leq x \leq 360^{\circ}$, maka $3x$ berada dalam rentang $0 \leq 3x \leq 3 \times 360^{\circ} = 1080^{\circ}$.

Dalam rentang $0^{\circ}$ hingga $1080^{\circ}$, nilai-nilai $3x$ di mana $\\cos 3x = \\frac{\sqrt{3}}{2}$ adalah:

Putaran pertama (0 - 360 derajat):
$3x = 30^{\circ}$
$3x = 360^{\circ} - 30^{\circ} = 330^{\circ}$

Putaran kedua (360 - 720 derajat):
$3x = 30^{\circ} + 360^{\circ} = 390^{\circ}$
$3x = 330^{\circ} + 360^{\circ} = 690^{\circ}$

Putaran ketiga (720 - 1080 derajat):
$3x = 30^{\circ} + 2 \times 360^{\circ} = 30^{\circ} + 720^{\circ} = 750^{\circ}$
$3x = 330^{\circ} + 2 \times 360^{\circ} = 330^{\circ} + 720^{\circ} = 1050^{\circ}$

Jadi, nilai-nilai $3x$ adalah: $30^{\circ}, 330^{\circ}, 390^{\circ}, 690^{\circ}, 750^{\circ}, 1050^{\circ}$.

Langkah 3: Cari nilai $x$ dengan membagi nilai $3x$ dengan 3.
$x = \frac{30^{\circ}}{3} = 10^{\circ}$
$x = \frac{330^{\circ}}{3} = 110^{\circ}$
$x = \frac{390^{\circ}}{3} = 130^{\circ}$
$x = \frac{690^{\circ}}{3} = 230^{\circ}$
$x = \frac{750^{\circ}}{3} = 250^{\circ}$
$x = \frac{1050^{\circ}}{3} = 350^{\circ}$

Langkah 4: Verifikasi bahwa nilai $x$ berada dalam rentang $0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$.
Semua nilai $x$ yang diperoleh ($10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ}$) berada dalam rentang yang ditentukan.

Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah {$10^{\circ}, 110^{\circ}, 130^{\circ}, 230^{\circ}, 250^{\circ}, 350^{\circ}$}.