Himpunan penyelesaian persamaan sin x - cos 2x = 0 untuk

{30°, 150°, 270°}

Pembahasan

Kita akan menyelesaikan persamaan \(\sin x - \cos 2x = 0\). Gunakan identitas trigonometri untuk \(\cos 2x\), yaitu \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\).

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
\(\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 0\)
\(\sin x - 1 + 2\sin^2 x = 0\)
Susun ulang menjadi persamaan kuadrat dalam \(\sin x\):
\(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)

Misalkan \(y = \sin x\). Persamaan menjadi:
\(2y^2 + y - 1 = 0\)
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
\((2y - 1)(y + 1) = 0\)

Maka, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk \(y\) atau \(\sin x\):
1. \(2y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}\)  atau  \(\sin x = \frac{1}{2}\)
2. \(y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1\)  atau  \(\sin x = -1\)

Sekarang kita cari nilai \(x\) dalam rentang 0 ≤ x ≤ 360 derajat:

Kasus 1: \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Nilai \(x\) di mana \(\sin x = \frac{1}{2}\) adalah di kuadran I dan II. 
Di kuadran I: \(x = 30^\circ\)
Di kuadran II: \(x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\)

Kasus 2: \(\sin x = -1\)
Nilai \(x\) di mana \(\sin x = -1\) adalah di kuadran III atau IV, yang tepatnya adalah 270 derajat.
\(x = 270^\circ\)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(30^\circ, 150^\circ, 270^\circ\).