Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathAljabar
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (|x|+2)/x <= 3
Pertanyaan
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (|x|+2)/x <= 3 adalah....
Solusi
Verified
Himpunan penyelesaiannya adalah \(x < 0\) atau \(x \ge 1\).
Pembahasan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{|x|+2}{x} \le 3\), kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan nilai \(x\): **Kasus 1: \(x > 0\)** Jika \(x > 0\), maka \(|x| = x\). Pertidaksamaan menjadi: \(\frac{x+2}{x} \le 3\) Kurangkan kedua sisi dengan 3: \(\frac{x+2}{x} - 3 \le 0\) Samakan penyebutnya: \(\frac{x+2 - 3x}{x} \le 0\) \(\frac{2 - 2x}{x} \le 0\) \(\frac{2(1 - x)}{x} \le 0\) Agar hasil pembagian non-positif, maka pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang berlawanan, atau pembilang bernilai nol. * Jika \(2(1-x) \ge 0\) (pembilang non-negatif) dan \(x < 0\) (penyebut negatif): \(1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1\). Jadi, \(x < 0\) dan \(x \le 1\) memberikan solusi \(x < 0\). * Jika \(2(1-x) \le 0\) (pembilang non-positif) dan \(x > 0\) (penyebut positif): \(1-x \le 0 \Rightarrow x \ge 1\). Jadi, \(x > 0\) dan \(x \ge 1\) memberikan solusi \(x \ge 1\). Jadi, untuk kasus \(x > 0\), solusinya adalah \(x < 0\) atau \(x \ge 1\). Karena kita mengasumsikan \(x > 0\), maka solusi dari kasus ini adalah \(x \ge 1\). **Kasus 2: \(x < 0\)** Jika \(x < 0\), maka \(|x| = -x\). Pertidaksamaan menjadi: \(\frac{-x+2}{x} \le 3\) Kurangkan kedua sisi dengan 3: \(\frac{-x+2}{x} - 3 \le 0\) Samakan penyebutnya: \(\frac{-x+2 - 3x}{x} \le 0\) \(\frac{2 - 4x}{x} \le 0\) \(\frac{2(1 - 2x)}{x} \le 0\) Agar hasil pembagian non-positif, maka pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang berlawanan. * Jika \(2(1-2x) \ge 0\) (pembilang non-negatif) dan \(x < 0\) (penyebut negatif): \(1-2x \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 2x \Rightarrow x \le \frac{1}{2}\). Jadi, \(x < 0\) dan \(x \le \frac{1}{2}\) memberikan solusi \(x < 0\). * Jika \(2(1-2x) \le 0\) (pembilang non-positif) dan \(x > 0\) (penyebut positif): \(1-2x \le 0 \Rightarrow 1 \le 2x \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}\). Jadi, \(x > 0\) dan \(x \ge \frac{1}{2}\) tidak mungkin terjadi karena kita mengasumsikan \(x < 0\) di kasus ini. Jadi, untuk kasus \(x < 0\), solusinya adalah \(x < 0\). **Menggabungkan Solusi dari Kedua Kasus:** Solusi dari Kasus 1 adalah \(x \ge 1\). Solusi dari Kasus 2 adalah \(x < 0\). Penyelesaian gabungan dari pertidaksamaan ini adalah \(x < 0\) atau \(x \ge 1\). Ini dapat ditulis dalam notasi himpunan sebagai \((-\infty, 0) \cup [1, \infty)\).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Section: Pertidaksamaan Rasional
Apakah jawaban ini membantu?