Hitunglah nilai limit trigonometri berikut lim x->pi/3

-3√3 / 4π

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit trigonometri berikut:
lim x->pi/3 (sin(3x+pi/3)+sin(3x+pi/3))/(2x+2pi/3)

Pertama, kita substitusikan nilai x = pi/3 ke dalam fungsi:
Pembilang: sin(3(pi/3) + pi/3) + sin(3(pi/3) + pi/3) = sin(pi + pi/3) + sin(pi + pi/3) = sin(4pi/3) + sin(4pi/3)
sin(4pi/3) = -sqrt(3)/2
Jadi, pembilang = -sqrt(3)/2 + (-sqrt(3)/2) = -sqrt(3).

Penyebut: 2(pi/3) + 2pi/3 = 2pi/3 + 2pi/3 = 4pi/3.

Karena hasil substitusi langsung tidak menghasilkan bentuk tak tentu (0/0 atau tak hingga/tak hingga), maka nilai limitnya adalah hasil substitusi tersebut.

Namun, mari kita periksa kembali soalnya. Kemungkinan ada kesalahan penulisan dalam soal, karena biasanya soal limit trigonometri menghasilkan bentuk tak tentu yang memerlukan penyederhanaan atau aturan L'Hopital.

Jika soalnya adalah:
lim x->pi/3 (sin(3x) + sin(3x))/(2x+2pi/3) atau ada penambahan/pengurangan lain di pembilang/penyebut.

Mari kita coba manipulasi aljabar pada penyebut:
2x + 2pi/3 = 2(x + pi/3).

Jika kita gunakan identitas jumlah sinus: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2).
Jika A = B = 3x + pi/3, maka:
sin(3x+pi/3) + sin(3x+pi/3) = 2 sin(3x + pi/3) cos(0) = 2 sin(3x + pi/3).

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->pi/3 (2 sin(3x+pi/3))/(2(x+pi/3))
lim x->pi/3 sin(3x+pi/3)/(x+pi/3)

Misalkan y = x + pi/3. Maka saat x -> pi/3, y -> 2pi/3.
Dan 3x + pi/3 = 3(y - pi/3) + pi/3 = 3y - pi + pi/3 = 3y - 2pi/3.
Ini juga tidak menyederhanakan ke bentuk standar.

Mari kita anggap ada kesalahan ketik dan yang dimaksud adalah:
lim x->pi/3 (sin(3x - pi) + sin(3x - pi)) / (2x + 2pi/3)
Atau:
lim x->pi/3 (sin(3x) + sin(3x)) / (2x + 2pi/3)

Mari kita kembali ke soal asli dan cek jika ada kesalahan interpretasi.
lim x->pi/3 (sin(3x+pi/3)+sin(3x+pi/3))/(2x+2pi/3)
= lim x->pi/3 2sin(3x+pi/3) / (2(x+pi/3))
= lim x->pi/3 sin(3x+pi/3) / (x+pi/3)

Jika kita substitusi x = pi/3:
pembilang = sin(3(pi/3) + pi/3) = sin(pi + pi/3) = sin(4pi/3) = -sqrt(3)/2.
penyebut = pi/3 + pi/3 = 2pi/3.

Hasilnya = (-sqrt(3)/2) / (2pi/3) = -sqrt(3)/2 * 3/(2pi) = -3sqrt(3) / (4pi).

Jika ada kesalahan penulisan pada soal dan yang dimaksud adalah:
lim x->pi/3 (sin(3x - pi/3) + sin(3x - pi/3))/(2x + 2pi/3) atau bentuk lain yang mengarah pada bentuk tak tentu.

Namun, berdasarkan soal yang tertulis persis seperti itu, hasil substitusi langsung adalah cara yang valid.
Nilai limitnya adalah sin(4pi/3) / (2pi/3) = (-sqrt(3)/2) / (2pi/3) = -3sqrt(3) / (4pi).