integral x/akar(1-x) dx= ...

-2√(1-x) + (2/3)(1-x)√(1-x) + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari x/√(1-x) dx, kita dapat menggunakan metode substitusi.
Misalkan u = 1 - x. Maka, du = -dx, atau dx = -du.
Selanjutnya, kita perlu mengekspresikan x dalam bentuk u. Dari u = 1 - x, kita dapatkan x = 1 - u.

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam integral:
∫ x / √(1-x) dx = ∫ (1-u) / √u (-du)
= -∫ (1-u) / u^(1/2) du
= -∫ (1/u^(1/2) - u/u^(1/2)) du
= -∫ (u^(-1/2) - u^(1/2)) du

Sekarang, kita integralkan masing-masing suku:
= - [ ∫ u^(-1/2) du - ∫ u^(1/2) du ]
= - [ (u^(-1/2 + 1)) / (-1/2 + 1) - (u^(1/2 + 1)) / (1/2 + 1) ] + C
= - [ (u^(1/2)) / (1/2) - (u^(3/2)) / (3/2) ] + C
= - [ 2u^(1/2) - (2/3)u^(3/2) ] + C
= -2u^(1/2) + (2/3)u^(3/2) + C

Terakhir, substitusikan kembali u = 1 - x:
= -2(1-x)^(1/2) + (2/3)(1-x)^(3/2) + C
= -2√(1-x) + (2/3)(1-x)√(1-x) + C

Kita bisa memfaktorkan keluar (1-x)^(1/2):
= √(1-x) [-2 + (2/3)(1-x)] + C
= √(1-x) [-2 + 2/3 - (2/3)x] + C
= √(1-x) [-4/3 - (2/3)x] + C
= -(2/3)√(1-x) [2 + x] + C