Jelaskan apakah deret berikut konvergen atau divergen.

Deret tersebut divergen karena hasil Uji Rasio adalah 2 (> 1).

Pembahasan

Untuk menentukan apakah deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}$ konvergen atau divergen, kita dapat menggunakan Uji Rasio.

Uji Rasio menyatakan bahwa jika $L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$, maka:
- Jika $L < 1$, deret konvergen absolut.
- Jika $L > 1$, deret divergen.
- Jika $L = 1$, uji ini tidak meyakinkan.

Dalam kasus ini, $a_n = \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}$. Maka, $a_{n+1} = \frac{(2(n+1))!}{2^{n+1} ((n+1)!)^2} = \frac{(2n+2)!}{2^{n+1} ((n+1)n!)^2} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{2 
cdot 2^n (n+1)^2 (n!)^2}$.

Sekarang kita hitung rasio $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{2 
cdot 2^n (n+1)^2 (n!)^2}}{\frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{2 
cdot 2^n (n+1)^2 (n!)^2} \times \frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}$

Sederhanakan ekspresi tersebut:

$= \frac{(2n+2)(2n+1)}{2 (n+1)^2} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{2 (n+1)^2} = \frac{2n+1}{n+1}$

Sekarang, kita hitung limitnya saat $n \to \infty$:

$L = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{n(2 + 1/n)}{n(1 + 1/n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + 1/n}{1 + 1/n} = \frac{2+0}{1+0} = 2$

Karena $L = 2$, yang lebih besar dari 1, maka deret tersebut adalah divergen.