Jika 2log3=a dan 3log7=b, nyatakan dalam logaritma dari

Menyatakan $\frac{a+b}{2a-3b}$ dan $\frac{ab+3}{a+b}$ dalam logaritma melibatkan manipulasi sifat logaritma dan perubahan basis.

Pembahasan

Untuk menyatakan $(a+b)/(2a-3b)$ dalam bentuk logaritma dengan diketahui $^2\log3 = a$ dan $^3\log7 = b$, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma. Pertama, ubah basis logaritma agar sama. Kita bisa menggunakan basis 2, 3, atau basis lainnya. Jika kita gunakan basis 3:
$^2\log3 = a \implies ^3\log2 = 1/a$
$^3\log7 = b$

Maka, $^2\log7 = ^2\log3 \cdot ^3\log7 = ab$

Sekarang, kita bisa menyederhanakan ekspresi $(a+b)/(2a-3b)$:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini lebih lanjut dalam bentuk logaritma, kita perlu mengaitkannya dengan basis logaritma yang sama, misalnya basis 3.
Kita tahu $a = ^2\log3$ dan $b = ^3\log7$.
Untuk $a+b$: $^2\log3 + ^3\log7$. Agar bisa dijumlahkan, basisnya harus sama. Ubah $^2\log3$ ke basis 3: $^2\log3 = \frac{^3\log3}{^3\log2} = \frac{1}{^3\log2}$.
Jadi, $a = \frac{1}{^3\log2}$.
Maka, $a+b = \frac{1}{^3\log2} + ^3\log7 = \frac{1 + (^3\log2 \cdot ^3\log7)}{^3\log2}$. Ini tidak menyederhanakan menjadi bentuk logaritma tunggal dengan mudah.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan sifat perubahan basis:
$^2\log3 = a$
$^3\log7 = b$
Kita ingin menyajikan $\frac{a+b}{2a-3b}$.
Dalam bentuk logaritma: $\frac{^2\log3 + ^3\log7}{2 \cdot ^2\log3 - 3 \cdot ^3\log7}$.
Agar bisa disederhanakan, kita perlu basis yang sama. Gunakan basis 10 atau basis $e$ (ln) atau basis 2 atau 3.

Jika kita gunakan basis 3:
$a = ^2\log3 = \frac{^3\log3}{^3\log2} = \frac{1}{^3\log2}$
$b = ^3\log7$

Maka:
$a+b = \frac{1}{^3\log2} + ^3\log7 = \frac{1 + ^3\log2 \cdot ^3\log7}{^3\log2}$.
$2a-3b = 2 \cdot \frac{1}{^3\log2} - 3 
{^3}\log7 = \frac{2 - 3 \cdot ^3\log2 \cdot ^3\log7}{^3\log2}$.

$\frac{a+b}{2a-3b} = \frac{\frac{1 + ^3\log2 \cdot ^3\log7}{^3\log2}}{\frac{2 - 3 \cdot ^3\log2 \cdot ^3\log7}{^3\log2}} = \frac{1 + ^3\log2 \cdot ^3\log7}{2 - 3 \cdot ^3\log2 \cdot ^3\log7}$.
Ini belum dalam bentuk logaritma tunggal yang sederhana.

Mari kita coba menyatakan $a$ dan $b$ dalam basis yang sama, misalnya basis 10.
$a = \frac{\log3}{\log2}$
$b = \frac{\log7}{\log3}$

$\frac{a+b}{2a-3b} = \frac{\frac{\log3}{\log2} + \frac{\log7}{\log3}}{2\frac{\log3}{\log2} - 3\frac{\log7}{\log3}} = \frac{\frac{(\log3)^2 + \log2 \cdot \log7}{\log2 \cdot \log3}}{\frac{2(\log3)^2 - 3\log2 \cdot \log7}{\log2 \cdot \log3}} = \frac{(\log3)^2 + \log2 \cdot \log7}{2(\log3)^2 - 3\log2 \cdot \log7}$

Untuk menyajikan ini dalam bentuk logaritma, kita perlu menggunakan sifat $\log x + \log y = \log(xy)$ dan $\log x - \log y = \log(x/y)$.
Namun, bentuk di atas adalah hasil operasi penjumlahan dan perkalian dari logaritma, bukan logaritma dari suatu ekspresi tunggal.

Jika soal meminta untuk menyatakan dalam bentuk $^c\log d$, maka kita perlu manipulasi lebih lanjut. Namun, tanpa basis target yang spesifik, bentuk $\frac{(\log3)^2 + \log2 \cdot \log7}{2(\log3)^2 - 3\log2 \cdot \log7}$ adalah hasil penyederhanaan.

**Bagian b: $(ab+3)/(a+b)$**
$ab = (^2\log3)(^3\log7) = ^2\log7$
$a+b = ^2\log3 + ^3\log7$

$\frac{ab+3}{a+b} = \frac{^2\log7 + 3}{^2\log3 + ^3\log7}$
Kita tahu $3 = ^2\log8$ atau $3 = 3 \cdot ^3\log3$.
Jika kita gunakan $3 = ^2\log8$:
$\frac{^2\log7 + ^2\log8}{^2\log3 + ^3\log7} = \frac{^2\log(7 \cdot 8)}{^2\log3 + ^3\log7} = \frac{^2\log56}{^2\log3 + ^3\log7}$.

Jika kita gunakan $3 = 3 \cdot ^3\log3$:
$\frac{^2\log7 + 3 \cdot ^3\log3}{^2\log3 + ^3\log7}$
Untuk menjumlahkan $^2\log3$ dan $^3\log7$, ubah basisnya.
Basis 3:
$a = ^2\log3 = \frac{1}{^3\log2}$
$b = ^3\log7$
$a+b = \frac{1}{^3\log2} + ^3\log7 = \frac{1 + ^3\log2 \cdot ^3\log7}{^3\log2}$

$\frac{ab+3}{a+b} = \frac{^2\log7 + 3}{\frac{1 + ^3\log2 \cdot ^3\log7}{^3\log2}}$
Kita perlu menyatakan 3 dalam basis 3: $3 = 3 \cdot ^3\log3$.
$ab = (^2\log3)(^3\log7) = \frac{^3\log3}{^3\log2} \cdot ^3\log7 = \frac{^3\log7}{^3\log2}$
$ab+3 = \frac{^3\log7}{^3\log2} + 3 = \frac{^3\log7 + 3 
{^3}\log2}{^3\log2}$

$\frac{ab+3}{a+b} = \frac{\frac{^3\log7 + 3 
{^3}\log2}{^3\log2}}{\frac{1 + ^3\log2 
{^3}\log7}{^3\log2}} = \frac{^3\log7 + 3 
{^3}\log2}{1 + ^3\log2 
{^3}\log7}$
Menggunakan $3 = 3 \cdot ^3\log3$:
$\frac{^3\log7 + 3 
{^3}\log3 
{^3}\log2}{1 + ^3\log2 
{^3}\log7}$
Ini adalah bentuk penyederhanaan.