Jika A=(1 1 -1 1) dan B=(0 1 1 0), maka

Matriks [[-4, 0], [0, 4]]

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami sifat-sifat operasi matriks, khususnya penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks, serta sifat komutatif dan asosiatif. 

Diketahui matriks A = [[1, 1], [-1, 1]] dan B = [[0, 1], [1, 0]]. Kita diminta untuk menghitung ekspresi (A+B)(A-B) - (A-B)(A+B).

Langkah 1: Hitung A+B
A + B = [[1, 1], [-1, 1]] + [[0, 1], [1, 0]] = [[1+0, 1+1], [-1+1, 1+0]] = [[1, 2], [0, 1]]

Langkah 2: Hitung A-B
A - B = [[1, 1], [-1, 1]] - [[0, 1], [1, 0]] = [[1-0, 1-1], [-1-1, 1-0]] = [[1, 0], [-2, 1]]

Langkah 3: Hitung (A+B)(A-B)
(A+B)(A-B) = [[1, 2], [0, 1]] * [[1, 0], [-2, 1]]
Untuk perkalian matriks [[a, b], [c, d]] * [[e, f], [g, h]] = [[ae+bg, af+bh], [ce+dg, cf+dh]]
(A+B)(A-B) = [[(1*1)+(2*-2), (1*0)+(2*1)], [(0*1)+(1*-2), (0*0)+(1*1)]]
(A+B)(A-B) = [[1 - 4, 0 + 2], [0 - 2, 0 + 1]]
(A+B)(A-B) = [[-3, 2], [-2, 1]]

Langkah 4: Hitung (A-B)(A+B)
(A-B)(A+B) = [[1, 0], [-2, 1]] * [[1, 2], [0, 1]]
(A-B)(A+B) = [[(1*1)+(0*0), (1*2)+(0*1)], [(-2*1)+(1*0), (-2*2)+(1*1)]]
(A-B)(A+B) = [[1 + 0, 2 + 0], [-2 + 0, -4 + 1]]
(A-B)(A+B) = [[1, 2], [-2, -3]]

Langkah 5: Hitung (A+B)(A-B) - (A-B)(A+B)
(A+B)(A-B) - (A-B)(A+B) = [[-3, 2], [-2, 1]] - [[1, 2], [-2, -3]]
Untuk pengurangan matriks [[a, b], [c, d]] - [[e, f], [g, h]] = [[a-e, b-f], [c-g, d-h]]
= [[-3 - 1, 2 - 2], [-2 - (-2), 1 - (-3)]]
= [[-4, 0], [-2 + 2, 1 + 3]]
= [[-4, 0], [0, 4]]

Hasilnya adalah matriks [[-4, 0], [0, 4]].

Alternatif menggunakan sifat aljabar:
Misalkan X = A+B dan Y = A-B.
Kita ingin menghitung XY - YX.
Secara umum, perkalian matriks tidak komutatif, artinya XY tidak sama dengan YX. Jadi, kita tidak bisa menyederhanakannya menjadi 0 kecuali jika matriks A dan B komutatif satu sama lain (AB=BA). 

Mari kita cek apakah AB = BA untuk matriks ini:
AB = [[1, 1], [-1, 1]] * [[0, 1], [1, 0]] = [[(1*0)+(1*1), (1*1)+(1*0)], [(-1*0)+(1*1), (-1*1)+(1*0)]] = [[1, 1], [1, -1]]
BA = [[0, 1], [1, 0]] * [[1, 1], [-1, 1]] = [[(0*1)+(1*-1), (0*1)+(1*1)], [(1*1)+(0*-1), (1*1)+(0*0)]] = [[-1, 1], [1, 1]]
Karena AB != BA, maka A dan B tidak komutatif. Oleh karena itu, (A+B)(A-B) tidak sama dengan (A-B)(A+B), dan kita harus melakukan perhitungan seperti di atas.

Perhitungan yang telah dilakukan menghasilkan matriks [[-4, 0], [0, 4]].

Jadi, (A+B)(A-B) - (A-B)(A+B) adalah matriks [[-4, 0], [0, 4]].