Jika A = [1 a a 2] merupakan matriks yang mempunyai invers,

Hasil kali semua nilai a yang mungkin adalah 3.

Pembahasan

Diberikan matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ a & 2 \end{bmatrix}$. Matriks ini memiliki invers jika determinannya tidak sama dengan nol. Determinan A, ditulis sebagai det(A), adalah:

det(A) = (1)(2) - (a)(a) = $2 - a^2$.

Agar A memiliki invers, maka det(A) $\neq$ 0, sehingga $2 - a^2 \neq 0$, yang berarti $a^2 \neq 2$.

Kita diberikan persamaan det($A^{-1}$) det($A^3$) = 1. Kita tahu bahwa det($A^{-1}$) = 1/det(A) dan det($A^3$) = (det(A))$^3$.

Mengganti ini ke dalam persamaan:

(1/det(A)) * (det(A))$^3$ = 1
(det(A))$^2$ = 1

Substitusikan kembali det(A) = $2 - a^2$:

($2 - a^2$)$^2$ = 1

Ini memberikan dua kemungkinan:
1) $2 - a^2 = 1$
   $a^2 = 2 - 1$
   $a^2 = 1$
   $a = \pm 1$

2) $2 - a^2 = -1$
   $a^2 = 2 - (-1)$
   $a^2 = 3$
   $a = \pm \sqrt{3}$

Nilai-nilai a yang mungkin adalah 1, -1, $\sqrt{3}$, dan $-\sqrt{3}$. Semua nilai ini memenuhi syarat $a^2 \neq 2$.

Hasil kali semua nilai a yang mungkin adalah (1) * (-1) * ($\sqrt{3}$) * ($-\sqrt{3}$) = (-1) * (-3) = 3.