Jika alpha dan beta sudut lancip, cos alpha = 4/5, dan sin

Nilai cos(alpha - beta) adalah 63/65.

Pembahasan

Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ adalah sudut lancip. 
Nilai yang diberikan adalah $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ dan $\sin \beta = \frac{5}{13}$.
Kita perlu menentukan nilai dari $\cos(\alpha - \beta)$.

Rumus untuk $\cos(\alpha - \beta)$ adalah: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Kita sudah memiliki nilai $\cos \alpha$ dan $\sin \beta$. Kita perlu mencari nilai $\sin \alpha$ dan $\cos \beta$.

1. Mencari $\sin \alpha$:
Karena $\alpha$ adalah sudut lancip, maka $\sin \alpha$ positif.
Menggunakan identitas Pythagoras: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha + (\frac{4}{5})^2 = 1$
$\sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1$
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25}$
$\sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}$
$\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (karena $\alpha$ lancip, $\sin \alpha > 0$).

2. Mencari $\cos \beta$:
Karena $\beta$ adalah sudut lancip, maka $\cos \beta$ positif.
Menggunakan identitas Pythagoras: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.
$(\frac{5}{13})^2 + \cos^2 \beta = 1$
\frac{25}{169} + \cos^2 \beta = 1$
$\cos^2 \beta = 1 - \frac{25}{169}$
$\cos^2 \beta = \frac{169}{169} - \frac{25}{169}$
$\cos^2 \beta = \frac{144}{169}$
$\cos \beta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ (karena $\beta$ lancip, $\cos \beta > 0$).

3. Menghitung $\cos(\alpha - \beta)$:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha - \beta) = (\frac{4}{5}) (\frac{12}{13}) + (\frac{3}{5}) (\frac{5}{13})$
$\cos(\alpha - \beta) = \frac{48}{65} + \frac{15}{65}$
$\cos(\alpha - \beta) = \frac{48 + 15}{65}$
$\cos(\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$

Jadi, nilai dari $\cos(\alpha - \beta)$ adalah $\frac{63}{65}$.