Jika diketahui: lim x mendekati tak hingga

k = 3

Pembahasan

Kita diberikan persamaan limit: lim x→∞ [√(x+k)(x+2) - √(x(x+1))] = 2.
Pertama, kita sederhanakan ekspresi di dalam limit:
√(x+k)(x+2) = √(x² + 2x + kx + 2k) = √(x² + (2+k)x + 2k)
√(x(x+1)) = √(x² + x)
Jadi, limitnya menjadi: lim x→∞ [√(x² + (2+k)x + 2k) - √(x² + x)] = 2.
Untuk menyelesaikan limit bentuk tak hingga seperti ini, kita bisa mengalikan dengan konjugatnya:
[√(x² + (2+k)x + 2k) - √(x² + x)] * [√(x² + (2+k)x + 2k) + √(x² + x)] / [√(x² + (2+k)x + 2k) + √(x² + x)]
= (x² + (2+k)x + 2k) - (x² + x) / [√(x² + (2+k)x + 2k) + √(x² + x)]
= ((2+k-1)x + 2k) / [√(x² + (2+k)x + 2k) + √(x² + x)]
= ((1+k)x + 2k) / [√(x² + (2+k)x + 2k) + √(x² + x)]
Untuk mendapatkan nilai limit yang terhingga (yaitu 2), koefisien x pada pembilang harus nol ketika kita membagi dengan x tertinggi di penyebut. Namun, cara yang lebih umum adalah dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x.
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= ((1+k) + 2k/x) / [√(1 + (2+k)/x + 2k/x²) + √(1 + 1/x)]
Saat x mendekati tak hingga, suku yang memiliki x di penyebut akan mendekati 0.
= (1+k) / [√1 + √1] = (1+k) / 2.
Kita diberikan bahwa nilai limit adalah 2, jadi:
(1+k) / 2 = 2
1+k = 4
k = 3.
Jadi, nilai k haruslah 3.